(完整版)二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结

一、知识点回顾

1. 二次函数解析式的几种形式：

①一般式：

（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐

标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即

一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数

的图象 ①二次函数

的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）

完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动

规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成

的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴

对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），

y ax bx c =++2

y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 2

0++=y ax bx c =++2

y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =

2

y ax bx c =++2y a x h k =-+()2

y ax =2

y ax bx c =++2y a x h k =-+()2

（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0

(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开

4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

①配方法：将解析式化为

的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2

（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；

若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，

。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y 有最大值，当

5. 抛物线与x 轴交点情况：

对于抛物线

①当时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

②当时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为

顶点。

③当时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。

二、考点归纳

考点一求二次函数的解析式

例1.已知二次函数f （x ）满足f （2）＝－1，f （－1）＝－1，且f （x ）的最

x h =y k

最小值=y k

最大值=--b a ac b a 2442

，x b

a =-

2a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值a <0x b a y ac b a =-=

-2442

时，最大值y ax bx c a =++2

0()≠∆=->b ac 2

40∆=-=b ac 2

40∆=-

40

大值是8，试求f（x）。

解答：

法一：利用二次函数的一般式方程

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意

故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。

法二：利用二次函数的顶点式方程

设f（x）＝a（x－m）2＋n

由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；

又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；

由f（2）＝－1可解得a＝－4。

故。

法三：利用二次函数的零点式方程

由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。

所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。

说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。

考点二二次函数的图像变换

例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。

解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则y

max

＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折

到x轴上方即可得到的图像，则y

max ＝f（1）或y

max

＝f（3），解

得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。

考点三二次函数的图像的应用

例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）

的范围是（）

A. f（1）≥25

B. f（1）＝25

C. f（1）≤25

D. f（1）>25

解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－

2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。

选A。