复旦版数学分析答案

克／厘米３(图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度
为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间
的函数关系。
⎧78.4x
x ∈[0,5]
解 P(x) = ⎪⎨98x − 98
x ∈(5,9] 。
⎪⎩1332.8x −11211.2 x ∈ (9,11]
13. 试求定义在[ 0, 1 ] 上的函数，它是[ 0, 1 ] 与[ 0, 1 ] 之间的一一对应，
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
（2）
y
=
arcsin
3x
，定义域：
(−
∞,0] ，值域：
⎜⎛ ⎝
0,
π 2
⎤ ⎥⎦
；
（3） y = tan x ，定义域： ∪ ⎜⎛ kπ − π ,kπ + π ⎟⎞ ，值域： [0,+∞)；
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
2
（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因 此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
⎟⎞ 1⎠
=
3x 3x
−1 +1
,求
f
(x)
。
解（1）令 x + 3 = t ，则 x = t − 3 ，代入等式，得到
f (t) = 2(t − 3)3 − 3(t − 3)2 + 5(t − 3) − 1 = 2t 3 − 21t 2 + 77t − 97 ，
所以 f (x) = 2x3 − 21x2 + 77x − 97 ；
3
习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
解（1）{x | −2 < x ≤ 3}。
（2）{(x, y) | x > 0且 y > 0}。
（3）{x | 0 < x <1且 x ∈Q}。
（4）
⎨⎧ ⎩
x
|
x
=
kπ
+
π 2
,
k
∈
Z
⎬⎫ ⎭
。
⒌ 证明下列集合等式：
(1) A ∩(B ∪ D) = ( A ∩ B) ∪( A ∩ D) ；
(2) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC 。
(A ∪ B)C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律：
(1) A ∪ B = A ∪ C ≠> B = C ； (2) A ∩ B = A ∩ C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c, d}，C = {c, d}，则 A∪ B = A ∪ C ，但 B ≠ C 。 （2）设 A = {a,b,c}， B = {c, d,e}， C = {c, d}，则 A∩ B = A ∩ C ，但 B ≠ C 。
证（1）设T 是一个无限集，先取 a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 a2 ∈T ， a2 ≠ a1 。再由T 是无限集，必存在 a3 ∈ T ， a3 ≠ a1 ， a3 ≠ a2 。这样的过
程可以无限进行下去，于是得到可列集 S = {a1, a2 , , an , }， S ⊂ T 。 （2）设 A = {a1, a2 , , an , }， B = {b1,b2 , ,bn , }，则 A ∪ B 可表示为
{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A ，并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D 。于是
或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D ，即 x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ；
设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ，则或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D 。于是 x ∈ A ，
7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数 。
x为无理数
8
第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
A ∪ B = {a1,b1, a2 ,b2 , , an ,bn , }。
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
x+2
f f f (x) = x + 2 ；
2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。
3x + 5
9. 证明：定义于 (−∞,+∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一
个奇函数之和。
证 显然 f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇函数，而
2
2
f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) 。
max B
=
π sin
2
= 1；因为 ∀x ∈ B ，∃α
∈
⎜⎛ ⎝
0,
π 2
⎤ ⎥⎦
，使得 x
= sinα ，于是有
α sin
∈ B ， sin α
<
x ，所以 min
B 不存在。
2
2
9
maxC 与 minC 都不存在，因为 ∀ n ∈ C ，有 n ∈ C ， n + 1 ∈ C ，
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
2
2
10. 写 出 折 线 ABCD 所 表 示 的 函 数 关 系 y = f (x) 的 分 段 表 示 ， 其 中
A = (0,3) ， B = (1,−1) ， C = (3,2) ， D = (4,0) 。
6
⎧− 4x + 3
解
y
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
3 2
x
−
5 2
⎪⎩− 2x + 8
y
x ∈[0,1] x ∈ (1,3] 。 x ∈ (3,4]
（2）令 x = t ，则 x = t ，代入等式，得到
x −1
t −1
f
(t )
=
3t −1 t −1
=
2t
+1
，所以
f
(x)
=
2x
+1。
3t + 1 4t − 1
4x −1
t −1
8.
设 f (x)
=
1
1 +
x
,求
f
f ，f
f
f ,f
f
f
f 的函数表达式。
解（1） f f (x) = x + 1 ；
n
n2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
B
=
⎨⎧sin ⎩
x|
0
<
x
<
2π 3
⎫ ⎬ ⎭
；
C
=
⎧n ⎩⎨ m
m, n ∈ N+ 并且n < m⎬⎫ 。
⎭
解 min A = 0 ；因为 ∀x ∈ A ，有 x +1∈ A， x +1 > x ，所以 max A不存在。
k∈Z ⎝
2
2⎠
4
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1)∪ [1,+∞)，值域：[0,1)∪ (1,+∞)。
x +1
4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：
(1) y = arcsin 1 ;
x2 +1
(2)
y
=
1 3
log a 3
(x2
− 1)
。
解（1） y = arcsin u ， u = 1 ， v = x2 +1；
n
可知 m 是偶数，设 m = 2k ，于是有 3n2 = 2k 2 ，从而得到 n 是偶数，这与 m 是既约分数矛盾。
n
（2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数
3 + 2 = m ，于是 3 + 2 6 + 2 = m2 ， 6 = m2 − 5 ，即 6 是有理数，与
2
3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域：
(1) y = f (u) = loga u , u = g(x) = x2 − 3 ; (2) y = f (u) = arcsin u , u = g(x) = e x ；
(3) y = f (u) = u2 − 1 , u = g(x) = sec x ；
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = {a1，a2， ，an }有 2n 个子集。
解
由 k 个元素组成的子集的个数为 Cnk ，
n
∑
C
k n
=
(1 + 1)n
=
2n
。
k =0
⒉ 证明：
(1) 任意无限集必包含一个可列子集；
(2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
2. (1) 建立区间[ a, b ]与[ 0, 1 ] 之间的一一对应；
(2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 (−∞,+∞) 之间的一一对应。
解（1） f :[a,b] → [0,1] x y= x−a；
b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞) x tan(x − 1)π = − cot(π x) 。
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
Fra Baidu bibliotek
⎤ ⎥⎦
，值域：
[0,1]；
（3）定义域：
[−
4,1]，值域：
⎢⎣⎡0,
5 2
⎤ ⎥⎦
；
（4）定义域：
(−
∞,0)
∪
(0,+∞)
，值域：
⎡ ⎢ ⎣
33 2 2
,+∞
⎟⎟⎠⎞
。
6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？
(1) f (x) = loga (x2 ) ， g(x) = 2 loga x ； (2) f (x) = sec2 x − tan2 x , g(x) = 1；
（2） a 是集合 { a,b, c } 的元素，应表述为 a∈ { a,b, c } 。
1
（3） {a,b}是集合 { a,b, c } 的子集，应表述为 {a,b}⊂ { a,b, c } 。
（ 4 ） {a,b,{a,b}} 是 由 a,b 和 { a,b } 为 元 素 构 成 的 集 合 ， 所 以
v
（2）
y
=
1 3
u3
，u
=
log a
v
，
v
=
x2
−1
。
5. 求下列函数的自然定义域与值域：
(1) y = loga sin x （ a > 1 ）；
(2) y = cos x ；
(3) y = 4 − 3x − x2 ；
(4)
y
=
x2
+
1 x4
。
解（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
(1, 1 )
O
x 2x
图 1.2.8
图 1.2.9
11. 设 f (x) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y = f (x) , x ∈[ 0, 2 ] 的表达式。
解
y
=
⎧1
⎪⎪ ⎨
2
⎪⎪⎩−
x2 1 x2 2
+
2x
−1
x ∈[0,1]
。
x ∈(1, 2]
12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8