韦达定理在初中数学竞赛题中的应用
湖南省株洲市第三中学 李梅英
设一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根为1x 、2x ，则a
b
x x -
=+21， a
c
x x =
⋅21这个定理叫韦达定理。 韦达定理是初中数学竞赛的重点内容，题型多样，方法灵活，触及知识面广。现结合2004年“TRULR R 信利杯”全国初中数学竞赛试题为例将韦达定理的解题策略简述如下： 例1、 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2
+-=+a a ，2
)1(3)1(3+-=+b b 则
b
a a a
b b
+的值为（ ）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题） （A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13
解：∵a 、b 是关于x 的方程03)1(3)1(2
=-+++x x 的两个不相等的实数根，整理
此方程，得 0152
=++x x ，
∵△=25-4>0
∴5-=+b a ，1=ab 故a 、b 均为负数。因此
ab b a ab a b b a a a b b --=+=ab ab
b a 22+-=232)(2-=-+-
ab
ab
b a
所以选（B ）
例2、实数t s .分别满足1,01999,0199192
2
≠=++=++st t t s s ，求
t
s st 1
4++的值。 （1999年全国初中数学竞赛试题）
解：由题设知0≠t ，∴019992
=++t t 可化为01)1(99)1(192
=++t
t
又1≠st ，∴t
s 1≠
∴s ，t 1是方程0199192=++x x 的两个不相等的实数根。
∴=+t s 11999-，1911=⋅t s
t s st 14++=t s t s 141⋅++=19141999⋅+-
=19
95
-=5-。 例3、若1≠ab ，且有0520019,09200152
2
=++=++b b a a ，则
b
a
的值是（ ） （2001年全国初中数学联合竞赛试题） （A ）
59 （B ）95 （C ）52001- （D ）9
2001
解：由题设知0≠b ，∴05200192
=++b b 可化为
092001
52
=++b b
又∵09200152
=++a a ，且1≠ab ，
∴b
a 1,是方程09200152
=++x x 的两个不相等的实数根。 ∴b a 1⋅=5
9
=b a
所以选（A ）
例4、已知0325,05232
2
=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n
m 1
-
的值。 （2000年江苏省初中数学竞赛试题） 解：由题设知0≠n ，∴03252
=-+n n 可化为03252=-+
n n ，
即05)1
(2)1(32=--n
n 又∵05232
=--m m
∴当1=mn 时，n
m 1
=
，01=-n m ；
当1≠mn 时，m ，n
1是方程05232
=--x x 的两个不相等的实数根。 ∴3
5
1,321-=⋅=+n m n m
∴n m 1-
=3
8
964)3
5
(4)32(14)1(1222
==
-⋅-=⋅-+=-n m n m n
m 例5、设0122
=-+a a ，0122
4
=--b b ，且012
≠-ab 。
求2003
22)12(a
a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题）
解：由题设知0≠a ，∴0122=-+a a 可化为01212=-+
a a ，即01)1
(2)1(2=--a
a 又 ∵ 0122
4
=--a b ，且012
≠-ab 。
∴2
,1b a
是方程0122=--x x 的两个不相等的实数根。 ∴
21
2=+b a
，112-=⋅b a
∴200322)12(
a a
b ab +-+=1)1()212()21
1(20032003200322-=-=--=-⋅++a
b a b
练习：
1、 已知实数b a ,满足027,0272
2
=+-=+-b b a a ，求
b a
a b +的值。 2、 已知实数b a ,满足015,0152
2=--=--b b a a ，求b
a a
b +的值。
3、 已知实数b a ,满足025,0252
2=++=++b b a a ，求
a
b b a +。 4、 已知βα,是方程022)2(32
2=--++m x m x 的两根且
2=β
α
，求m 的值。 5、 已知21,x x 是方程06)53(42
2=---m x m x 的两根，且
2
3
21=x x ，求m 的值。 6、 关于x 的方程)(09)(2
b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求
α
β
βα+
的值。 作者简介：李梅英，女，生于1967年5月，中共党员，本科学历，从事初中数学教学15
年。从1994年开始我就与《中小学数学初中（学生）、（教师）版》结下了不解之缘，每年订阅了这两本杂志。无论是常规教学还是奥赛培训，这两本书助我取得了辉煌的成绩。
