北京四中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟。
卷（Ⅰ）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设i 为虚数单位，则1i
= A. i
B. i -
C. 1
D. －1
2. 下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)2x '-=；②21(log )ln 2
x x '=；③()
x x e e '=；④()cos sin x x '=。 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是 A. 2sin y x = B. x y xe =
C. 3y x x =-
D. 11
y x =
+ 4. 由直线1,22x x ==，曲线1
y x
=及x 轴所围成封闭图形的面积是 A.
154
B.
174
C.
1
ln 22
D. 2ln 2
5. 函数()2cos f x x x =+在[0,]π上的极大值点为 A.
6
π B.
3
π C.
2
π
D.
56
π 6. 用数学归纳法证明22
2
2
2
2
2
2
(21)
12(1)(1)213
n n n n n ++++-++-+
++=时，
由*()n k k N =∈的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是
A. 22(1)k k ++
B. 22(1)2k k ++
C. 2
(1)k +
D.
21
(1)[2(1)1]3
k k +++ 7. 已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-，则()y f x =的图象大致为
8. 设(0,0),(4,0),(4,4),(,4),A B C t D t t R +∈，记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为
A. {9，10，11}
B. {9，10，12}
C. {9，11，12}
D. {10，11，12}
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知复数(2)(1)z i i =-+，则z 的虚部为__________，z 在复平面内对应的点在第______象限。 10. 直线1
2
y x b =
+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ＝________。 11. 观察下列等式
照此规律，第n 个等式为____________。 12. 下列命题中：
①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数22()cos sin h x x x =-，则()112
h π
'=-；
③若函数()(1)(2)
(2013)(2014)g x x x x x =----，则(2014)123g '=⨯⨯⨯⨯
20122013⨯；
④若三次函数32
()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“()f x 有极值点”的
充要条件。
其中真命题的序号是_____________。
三、解答题：本大题共3小题，共40分。 13. （本小题满分共12分）
在数列{}n a 中，111,,1,2,3,31
n
n n a a a n a +===+。
（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；
（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明。 14. （本小题满分共14分） 设32
11()232
f x x x ax =-
++。 （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当02a <<时，()f x 在[1，4]上的最小值为16
3
-，求()f x 在该区间上的最大值。
15. （本小题满分共14分） 已知函数3
2
3()1()2
f x ax x x R =-
+∈，其中0a >。 （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。 卷（Ⅱ）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 1. 若ln (),3x
f x a b x
=
<<，则 A. ()()f a f b > B. ()()f a f b = C. ()()f a f b <
D. ()()1f a f b >
2. 满足|1|4z i +-=的复数z 在复平面上对应的点组成的图形是 A. 线段
B. 椭圆
C. 圆
D. 双曲线
3. 已知可导函数()f x 的导函数()f x '的部分图象如图所示，则函数(1)f x +的部分图象可能是
