中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,已知△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G,交BC的延长线于F.
(1)求证:AE=BE;
(2)求证:FE是⊙O的切线;
(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】(1)证明:连接CE,如图1所示:
∵BC是直径,∴∠BEC=90°,∴CE⊥AB;
又∵AC=BC,∴AE=BE.
(2)证明:连接OE,如图2所示:
∵BE=AE,OB=OC,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC,AC=2OE=6.
又∵EG⊥AC,∴FE⊥OE,∴FE是⊙O的切线.
(3)解:∵EF是⊙O的切线,∴FE2=FC•FB.
设FC=x,则有2FB=16,∴FB=8,∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6,∴OB=OC=3,即⊙O的半径为3;∴OE=3.
∵OE∥AC,∴△FCG∽△FOE,∴,即,解得:CG=.
点睛:本题利用了等腰三角形三线合一定理,三角形中位线的判定,切割线定理,以及勾股定理,还有平行线分线段成比例定理,切线的判定等知识.
2.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB=16,以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求CE的长;
(3)过点B作BG∥DF,交⊙O于点G,求弧BG的长.
【答案】(1)证明见解析(2)3)4π
【解析】
【分析】
(1)如图1,连接AD,OD,由AB为⊙O的直径,可得AD⊥BC,再根据AB=AC,可得BD=DC,再根据OA=OB,则可得OD∥AC,继而可得DE⊥OD,问题得证;
(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出DE=1
2
BF,CE=EF,根据∠A=30°,AB=16,可
得BF=8,继而得DE=4,由DE为⊙O的切线,可得ED2=EF•AE,即42=CE•(16﹣CE),继而可求得CE长;
(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG∥DF,可得∠CBG=∠CDF=30°,再根据AB=AC,可推导得出∠OBG=45°,由OG=OB,可得∠OGB=45°,从而可得∠BOG=90°,根据弧长公式即可求得BG的长度.
【详解】
(1)如图1,连接AD,OD;
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=DC,
∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴∠ODE=∠DEA=90°,
∴DE为⊙O的切线;
(2)如图2,连接BF,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∴BF∥DE,
∵CD=BD,
∴DE=1
2
BF,CE=EF,
∵∠A=30°,AB=16,∴BF=8,
∴DE=4,
∵DE为⊙O的切线,∴ED2=EF•AE,
∴42=CE•(16﹣CE),∴CE=8﹣
(3)如图3,连接OG ,连接AD ,
∵BG ∥DF ,
∴∠CBG=∠CDF=30°,
∵AB=AC ,
∴∠ABC=∠C=75°,
∴∠OBG=75°﹣30°=45°,
∵OG=OB ,
∴∠OGB=∠OBG=45°,
∴∠BOG=90°,
∴BG 的长度=908180
π⨯⨯=4π.
【点睛】
本题考查了圆的综合题,涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等,正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
3.如图,点P 是正方形ABCD 内的一点,连接PA ,PB ,PC .将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.