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专题十
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）
,和求斜率（切线方程结合函数求最值）
问题.
（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充
分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，
理解
导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）
()f x 是3
1()
213
f x x
x 的导函数，则
(1)f 的值是．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]2
2
()2,(1)1
2 3.
f x x
f 故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数()
1
x
a f x x ,集合M={|()
0}x f x ,P='
{|()0}x f x ,若M P,则实数
a 的取值范围是
( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
0,,1;, 1.
1
x a x
a a x x 当a>1时当a<1时/
/
2
2
11,0.
1
1
1
1
1.
x x a
x a
x a
a y
y
x x x x a 综上可得M P 时,
1.
a 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切
线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数3
2
11()
3
2
f x x
ax
bx 在区间[11)，，(13]，内各有一个极
值点．（I ）求24a
b 的最大值；（II ）当2
48a b
时，设函数()y
f x 在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函
数()y
f x 的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y
f x 运动，经过点A 时，从l 的一侧进入
另一侧），求函数()f x 的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I ）因为函数3
2
11()
3
2
f x x
ax
bx 在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值点，
所以
2
()f x x
ax b
0在[11)，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为
12x x ，（12x x ），则2
2
1
4x x a
b ，且210
4x x ≤．于是
2
044a
b ≤，2
0416a
b ≤，且当11x ，2
3x ，即2a
，3b
时等号成
立．故2
4a b 的最大值是16．
（II ）解法一：由
(1)1f a
b 知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)
(1)(1)y f f x ，即21(1)3
2y
a
b x
a ，
因为切线l 在点(1
())A f x ，处空过()y f x 的图象，所以21()
()[(1)]3
2g x f x a b x
a 在1x
两边附近的函数值异号，则
1x 不是()g x 的极值点．
而()
g x 3
2
1121(1)32
3
2
x
ax
bx a b x
a ，且
2
2
()
(1)
1(1)(1)g x x
ax b a b x ax a x x a ．
若11a ，则1x 和1x
a 都是()g x 的极值点．
所以1
1a ，即2a
，又由2
48a
b ，得1b ，故3
2
1()3
f x x
x
x ．
解法二：同解法一得
21()()[(1)]
3
2
g x f x a b x
a 2
133(1)[(1
)(2
)]3
22a x x
x
a ．
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x 的图象，所以()g x 在1x 两边附近的函数值异
号，于是存在12m m ，（121m m ）
．当11m x 时，()0g x ，当21x m 时，()0g x ；或当
11m x 时，()
0g x ，当21x
m 时，()
0g x ．
设2
33()1
2
2
2
a a h x x
x
，则
当11m x 时，()0h x ，当21x
m 时，()0h x ；或当
1
1m x 时，()
0h x ，当21x
m 时，()
0h x ．
由(1)0h 知1x 是()h x 的一个极值点，则3(1)
211
02a h ，所以2a
，又由2
48a
b ，得1b ，故3
2
1()
3f x x
x
x ．
例4.（2006年安徽卷）若曲线4
y
x 的一条切线l 与直线48
0x
y 垂直，则l 的方程为（
）
A ．430x
y
B ．450x y
C ．43
x y
D ．43
x y [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
