考研数二真题及解析

考研数二真题及解析 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

1993

年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim ln x x x +

→=＿＿＿＿＿＿.

(2) 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,则

dy

dx

=＿＿＿＿＿＿. (3)

设1()(2(0)x

F x dt x =>⎰,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.

(4) =＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2

-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则

()f x =＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量2

11

sin x x

是 ( )

(A) 无穷小 (B) 无穷大

(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大

(2) 设2|1|

,1,()1 2, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

则在点1x =处函数()f x ( )

(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续

(3) 已知2,01,

()1, 12,

x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,则()F x 为 ( )

(A)31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B) 311,0133

,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C) 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D) 311

,01

33

1,12

x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (4) 设常数0k >,函数()ln x

f x x k e

=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )

(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>>

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

(1) 设2

sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d y

dx

.

(2)

求lim )x x x →-∞

.

(3) 求4

01cos 2x

dx x π

+⎰.

(4) 求3

(1)

x

dx x +∞

+⎰. (5) 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解. 四、(本题满分9分)

设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.

五、(本题满分9分)

设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积. 六、(本题满分9分)

作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.

七、(本题满分6分)

设0x >,常数a e >,证明()a a x a x a ++<. 八、(本题满分6分)

设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：

2

()2

a

Ma f x dx ≤⎰

,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0

【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成∞

∞

型,从而利用洛必达法则进行求解.

00002

1

ln lim ln lim lim

lim 011x x x x x x x x x x x

++++

→→→→==-=-洛. (2)【答案】222222cos()

2cos()2x y e x x y y x y xy

--++-

【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0x x y e xy ++-=两边对x 求导,得

222cos()(22)20x x y x yy e y xyy ''+⋅++--=,

化简得 22222

2cos()

2cos()2x y e x x y y y x y xy

--+'=+-. 【相关知识点】复合函数求导法则：

如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为