解析:法一 ∵|x-5|+|x+3|=22,5,8,35,
22,5,x x x x x -⎧⎪-⎨⎪-+-⎩
＞＜＜＜ ∴|x-5|+|x+3|≥8,
当a ≤8时不等式无解.
法二 ∵|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,
∴当a ≤8时,不等式无解.
答案:(-∞,8]
2.(2013年陕西卷,理15A)(不等式选做题)已知a,b,m,n 均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
解析:(am+bn)(bm+an)=ab(m 2+n 2)+(a 2+b 2)mn=ab(m 2+n 2)+2[(a+b)2-2ab]≥2mnab+2(1-2ab)=2,
当且仅当
.
答案:2
3.(2011年陕西卷,理15)若关于x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a 的取值范围是 . 解析:因为|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,
所以|a|≥|x+1|+|x-2|有解时,|a|≥3,
解得a ≤-3或a ≥3.
答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
4.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)(2)设a>-1,且当x ∈[-2a ,12
）时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围. 解:(1)当a=-2时,不等式f(x)设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=15,,
212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪--⎨⎪⎪-⎪⎩
＜≤≤＞ 其图象如图所示.
从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,
y<0.
所以原不等式的解集是{x|0(2)当x ∈[-
2a ,12）时, f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a ≤x+3.
所以x ≥a-2对x ∈[-
2a ,12）都成立. 故-2
a ≥a-2, 即a ≤43
. 从而a 的取值范围是（-1,
43]. 5.(2012年辽宁卷,理24)已知f(x)=|ax+1|(a ∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x ≤1}.
(1)求a 的值;
(2)若|f(x)-2f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
|≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax ≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x ≤1},
所以当a ≤0时不合题意,
当a>0时,-
4a ≤x ≤2a
, 所以a=2. (2)记h(x)=f(x)-2f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 则h(x)=1,1143,1,211,.2x x x x ⎧⎪-⎪⎪----⎨⎪⎪--⎪⎩
≤＜＜≥ 所以|h(x)|≤1,
因此k ≥1.
6.(2012年新课标全国卷,理24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.
解:(1)当a=-3时,f(x)=25,2,1,23,25, 3.x x x x x x -+⎧⎪⎨⎪-⎩
≤＜＜≥
当x ≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,
解得x ≤1;
当2当x ≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,
解得x ≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a.
由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,
即-3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].
7.(2011年新课标全国卷,理24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值.
解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x ≥3或x ≤-1.
故当a=1时,不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x ≤0,
此不等式可化为不等式组
,30x a x a x ⎧⎨-+⎩≥≤或,30,x a a x x ⎧⎨-+⎩＜≤即,4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或,,2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩＜≤
因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-
2a }, 由题设可得-2
a =-1,故a=2. 考点二 不等式的证明
1.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理24)(选修45:不等式选讲)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac ≤13
; (2)2a b + 2b c +2
c a
≥1. 证明:(1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2
≥2ca, 得a 2+b 2+c 2
≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2
=1, 即a 2+b 2+c 2
+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13
. (2)因为2a b +b ≥2a,2b c +c ≥2b, 2
c a
+a ≥2c, 故2a b +2b c +2
c a
+(a+b+c)≥2(a+b+c), 即2a b +2b c +2
c a
≥a+b+c. 所以2a b +2b c +2
c a
≥1. 2.(2012年江苏卷,21D)已知实数x,y 满足|x+y|<13,|2x-y|<16,求证|y|<518
. 证明:因为x,y 为实数,
