5．1下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
2
2
)
1(1)
1(+z z 3
sin )
2(z
z 11
)6(-z e )
1(1)
7(2
-z
e z
本题考察的知识点：孤立奇点类型的判定。
注意：洛必达法则的应用。 具体判定方法见第五章（1）的课件。 m 级零点的判定：重根
级零点
m m ⇔；定理1.3
具体可见第五章（1）的课件。 解：2
2)1(1)
1(+z z 孤立奇点：i
z i z z -===321,,0（使分母为零的点）
∞
=+→2
2
)
1(1lim z z i
z z ，所以，i
z i z z -===32
1,,0均为函数的极点。
对于01=z
2
2
2
2)
1(1
)0(1
)
1(1
+⋅
-=
+z z z z
0|)
1(1
0)1(1
1
22122≠+=+=z z z z z 解析，在 根据定理1.2得，为一级极点01=z 类似的，为二级极点。
i z i z -==32
,
注：本题也可根据定理1.4 即零点与极点的关系进行判定。
3
sin )
2(z
z 孤立奇点：0=z
∞==→→2
3
03cos lim
sin lim
z
z z
z z z （洛必达法则），所以，0=z 为函数的极点。
的取值情况。
根据极限
)(lim )2(0
z f z z →：
级极点的判定即的判定是极点，极点级数
若)(0m m z
0=z 为函数
3
sin z
z 的分子z sin 的一级零点。（因为 0|)'(sin ,0|sin
00≠===z z z z ，
根据定理1.3）；
=z 为函数
3
sin z
z 的分母
3
z
的三级零点（因为
0|)
(,0|)"(,0|)'(,0|0)
3(3
03
03
03
≠=======z z z z z z z z ，根据定理
1.3）；
根据定理1.5，得
0=z 为函数
3
sin z
z 的二级极点。
11
)3(-z e 孤立奇点：1=z
11
1
lim -→z z e
当z 沿着实轴从点1=z 的左侧，趋向于1=z 时，11
1
lim
-→z z e ＝0 当z 沿着实轴从点1=z 的右侧，趋向于1=z 时，11
1
lim -→z z e ＝∞+ 所以，1
1
1
lim -→z z e 不存在。
因此，1=z 是函数的本性奇点。
)
1(1)
7(2
-z
e z
本题特别注意：满足01=-z e 的复数z 的取值,...2,1,0,2±±=k i k π（复指数
函数的周期性） 函数的孤立奇点：,......2,1,2,02
1±±===k i k z z π
∞
=-→)
1(1lim
2
z
z z e z i
，所以，,......2,1,2,02
1±±===k i k z z π均为函数的极点。
对于01=z
01=z 是函数的倒数
)1()
1(112
2
-=-z z
e z e z 的三级零点
（利用定理1。3 三
阶导数恰不为零） 所以，01=z 是函数)
1(12
-z
e z 的三级极点；
对于点,......2,1,22
±±==k i k z π可作类似的判定，他们是函数
)
1(12
-z
e z 的
一级极点。
5.5 求出下列各函数在有限奇点处的留数 （1）
z
z z 212
-+ 4
21)
2(z
e z
- z
z 1
sin )6(2
解：（1）
z
z z 212
-+
函数的孤立奇点2,02
1==z z ，
∞
=-+→z
z z i
z z 21lim
2
，所以2,02
1==z z 均为极点
对于01=z
z
z z 212
-+=
2
1
01
-+⋅
-z z z
2
1-+z z 在01=z 解析，函数值不为零，所以 01=z 为一级极点
类似的，可判定22=z 也是一级极点
利用准则I ，得
2
121lim ]0,21[
Re 2
2
-
=-+=-+→z
z z z
z z z s z
2
321)
2(lim ]2,21[Re 2
2
2=-+-=-+→z
z z z z
z z s z
