第五章作业参考答案

5．1下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
22
)1(1)1(zz

3sin)2(zz 11)6(ze )1(1)7(2zez

本题考察的知识点：孤立奇点类型的判定。

注意：洛必达法则的应用。
具体判定方法见第五章（1）的课件。
m级零点的判定：重根级零点mm；定理1.3
具体可见第五章（1）的课件。
解：22)1(1)1(zz 孤立奇点：izizz321,,0（使分母为零的点）

22)1(1lim
zz
i
zz

，所以，izizz321,,0均为函数的极点。

对于01z 2222)1(1)0(1)1(1zzzz
0|)1(10)1(1122122zzzzz解析，在
根据定理1.2得，为一级极点01z
类似的，为二级极点。iziz32,
注：本题也可根据定理1.4 即零点与极点的关系进行判定。

3
sin)2(zz
孤立奇点：0z

20303coslimsinlim
zzz

z

zz
（洛必达法则），所以，0z为函数的极点。

的取值情况。根据极限)(lim)2(0zf
zz

：级极点的判定即的判定是极点，极点级数若)(0mmz
0z为函数3sinzz的分子zsin
的一级零点。（因为 0|)'(sin,0|sin00zzzz，
根据定理1.3）；
0z
为函数3sinzz的分母3z的三级零点（因为
0|)(,0|)"(,0|)'(,0|0)3(3030303zzzzzzzz
，根据定理1.3）；
根据定理1.5，得

0z
为函数3sinzz的二级极点。

11)3(z
e

孤立奇点：1z

111limz
z
e

当z沿着实轴从点1z的左侧，趋向于1z时，111limzze＝0
当z沿着实轴从点1z的右侧，趋向于1z时，111limzze＝
所以，111limzze不存在。
因此，1z是函数的本性奇点。

)1(1)7(2zez

本题特别注意：满足01ze的复数z的取值,...2,1,0,2kik（复指数
函数的周期性）
函数的孤立奇点：,......2,1,2,021kikzz

)1(1lim
2z
zz
ez

i

，所以，,......2,1,2,021kikzz均为函数的极点。

对于01z
01z
是函数的倒数)1()1(1122zzezez的三级零点 （利用定理1。3 三
阶导数恰不为零）
所以，01z是函数)1(12zez的三级极点；

对于点,......2,1,22kikz可作类似的判定，他们是函数)1(12zez的
一级极点。
5.5 求出下列各函数在有限奇点处的留数

（1）zzz212 421)2(zez zz1sin)6(2
解：（1）zzz212
函数的孤立奇点2,021zz，
zzzizz21lim
2

，所以2,021zz均为极点

对于01z zzz212=2101zzz

21z
z
在01z解析，函数值不为零，所以 01z为一级极点

类似的，可判定22z也是一级极点
利用准则I，得

2121lim]0,21[Re202zzzzzz
z
s

z

2321)2(lim]2,21[Re222zzzzzz
z
s

z
4
21)2(zez


孤立奇点0z，32042042lim1limzezezzzz，所以0z为极点
0z
为分母的一级零点；为分子四级零点
所以，0z为421zez的三级极点

可利用准则II，可得 34]0,1[Re42zesz
本题也可以直接计算函数在0z的去心邻域内的洛朗展开式，寻找其
中的系数1c。

z
z1sin)6(
2
孤立奇点0z
函数在0z的去心邻域内的 洛朗展开式 为

...!31)!12(1)1(1sin12022zznzzzz
n

n
n

根据留数的定义，得

!31]0,1sin[Re12cz
zs
5．6计算下列各积分
本题考察的知识点：
利用留数定理计算复变函数的积分
计算步骤：


C
dzzf)(

mzzzzf,....,,)()1(21
的孤立奇点寻找

的位置关系线判定孤立奇点与积分曲C)2(
dzzzz23sin)1( dzzezz222)1()2( dzzzzz232)2)(1(1)3(
)4(

241z
z

dz

解：dzzzz23sin)1( 函数zzsin的孤立奇点0z
1sinlim0
zzz

，0z为函数zzsin的可去奇点。

0z
位于积分曲线C的内部
根据留数定理，得]1,sin[Re2sin23zzsidzzzz

因为0z为函数zzsin的可去奇点，所以，0]1,sin[Rezzs
所以，]1,sin[Re2sin23zzsidzzzz＝0
dzzezz222)1()2(
函数22)1(zez的孤立奇点1z
221)1(lim
zezz，1z为(数22)1(z

e
z
的极点。

点 1z
函数zzezze2222)1(1)1(

nzzzC,...,,21
内部的孤立奇点确定位于
]),([Re2)()3(1iniCzzfsidzzf利用留数定理
结果。计算相应的留数，得到)4(

01122zzzeze解析，在

根据定理1.2，得

1z
是函数22)1(zez的二级极点。
1z
位于积分曲线C的内部
根据留数定理，得]1,)1([Re2)1(22222zesidzzezzz
根据准则II,
2222
1222])1()1[(lim!11]1,)1([Reezezdzdzeszzz

所以，]1,)1([Re2)1(22222zesidzzezzz24ie

dzzzzz232)2)(1(1)3(
函数2)2)(1(1zzz的孤立奇点2,1,0321zzz
01z
是函数2)2)(1(1zzz的一级极点
12z
是函数2)2)(1(1zzz的一级极点
23z
是函数2)2)(1(1zzz的二级极点
只有01z，12z位于积分曲线C的内部
根据留数定理得，

]}1,)2)(1(1[Re]0,)2)(1(1[{Re2)2)(1(122232zzzszzzsidz
zzz
z



根据准则I,41)2)(1(1)0(lim]0,)2)(1(1[Re202zzzzzzzsz
91)2)(1(1)1(lim]1,)2)(1(1[Re212zzzzzzz
s
z

]}1,)2)(1(1[Re]0,)2)(1(1[{Re2)2)(1(122232zzzszzzsidz
zzz
z



i185
（4）241zzdz

函数114z的孤立奇点izzizz4321,1,,1（见第一章的复数的方根
运算）
11lim
4
z

i
zz

，所以，它们均是函数的极点；

由于它们均是函数114z的倒数)1(4z的一级零点，（根据
重根级零点mm
）
根据定理1.4，得

izzizz4321,1,,1
都是函数114z的一级极点
izzizz4321,1,,1
均在积分曲线的内部，根据留数定理，

241z
z

dz
=],11[Re2414iizzsi

根据准则I，可得到各自的留数取值，

241z
z

dz
=0