专题23 圆与圆的位置关系
提示：连接=牛丄必过点0,则0Q 丄AB,设0
：
, （DO 。的半径为
例2 D 提示：连接 AB, A4, , BB 「作 AB?
丄 则 AB 2
= AB^ + BB^ , B|J
(a + b)2=AB 22+(b-a)2 ,得 AB 22=A 1B I 2 =4ab ,同理，A I C I 2=4ac , C.B,2 =4bc ,由
A =T 4|C[ + Cj B]得 \!4ab=>/4ac + J4bc ,故—
+ -^=.
例 3 提示：⑴过P 点作两圆的公切线.
（2）即证PA ・PB = PC ・PD.
例 4 ZB0Q2ZBAC , ZB0}
D = ZBAC = ^ZBO }
C ,则 0£ 为 ZBO }
C 的平分线，又
0\B = 0、C ,故 丄 BC.
②当OP 与©D 内切时，如图 2, PC=x, QC=2, PQ=x-2, PD=x-丄，DQ=2,在 RtADPQ 中,
2
2
W, x =21, y=4-21=12
12 12 12
，解得X=-
6
例 5 ⑴过 D 作 DQ 丄 BC 于 Q,则 BQ=AD=1, AB=DQ=2, CQ= (CD? _ DQ? =j (2® )
2
-22 =2,
y=*(l + 3-x
⑵分两种情况讨论：①当OP 与OD 外切时，如图1,
QC=2, PC=x, QP=
2 —x , PD=x+ —
2
DQ=2,在 RtADQP 中，S(2-x)2
+22
=
(1V x+-
l 2丿
得,
x 』，尸4」
20 49 20 20
由(X -2)2+22
=
r 1)
X■—
< 2丿
xcm,在 RtA 0.0.0 中，有
\2
+ X 丿
0例
6 就图1给出解答：连接CP并延长交AB于点Q,连接BP,得ZBPC900,又
得AQ=QB冷AB,在RfCQP中，需=鵲增斗
过Q作QM/7BC交AN于M,则MQ=丄刃V .由△MQPs^NCP,得些=空=丄,
2 CN CP 4
+& BN 2MQ1
故——= ---------- =一.
NC 4MQ2
9.提示：⑴连结AB ,并延长交oq于E,连结CE.
略⑵提示：设AP=3t,由BC ・BH=BP ・BA, BH=2BC, BC=亦匚易证△HAP^/\BAH,
得⑴辰故齡塔=艮11连结妙CE，作賊丄CE卄，作心E
J - /V,则BM//HN. VH是BC的中点，故/V是CM的中点，二CN=丄CM=丄(CE~EM)
2 2
=丄(CE _BD),而AH =BH -AB =- BC ~AB= - (AB+AC) -AB= - (AC~AB),因此CN
2 2 2 2
=AH. rh CE丄DE, AF丄DE,得CE//AF.故ZNCH=ZHAF,
得厶CNH^/\AHF,从而BC=2CH=2AF.
12. (/) V5 :2 提示：由题意，设正方形边长为/,则
= 72 + 丄/ ,得R:l = y/5 :2.由肋'=ADXDB, DE 2丿
= 10,得ADXDB = IOO.设AC与内切圆交点S, CB与内切
(第11题图)
5. D
6. D 7・ B 8. D
又ZCNH=ZAHF=90° ,
⑵结论仍然成立.10. (1)
一丄，+x(o4
圆交点 H,设 AD=r f
. AB=x+ —, x
x
AS = AD = x , BH = BD=—.又/XABC 为直角三角形。AC 2 + CB 2 = AB 2 ,即 X
1
(四边形OSCH 为正方形)，解得x+—-21,
x
^AB=AD+BD = 21.
级:1. 4± V7 2. 6 3.49a + b 提示：当圆环为3个时，链长为3a+竽 X2 = 2a+
b(cm)；当圆环为50个时，链长为50a+=「X2 = 49a+b( cm). 4. 312提示：设O
V
为大圆圆心，R 为AB 与PQ 的交点，心X’ O Q = x-10,
x - 10)^ + — = 202 解得 x = 8 土『3()4 x 〉0 ,贝！J x =8 +『3()4 5. C 提示:
12丿
几=片方形花皎一一个内切圆的面积・
则由对称性可得ZCO l B=ZCO 2A=ZAO ]B=12O Q . 8.(1)略(2)40 = 12. 9.提示:
⑴过4点作两圆的内公切线，连结AC.
⑵BE=BF=BC, BC 1 = BA2BD ,由△ABEs
/\EBD 得肿=BA ・ BD, ZCBE= kBEF= ZFBE. 10. (1)BD=IO (2)连结 OB. C, F
分别为 AB , BE 中点，BC=BF, AB = BE, ZOBD=ZD, - ZABE+ZD= 90° ,故
2
ZABE+2ZD=130° .
(3)连结BO 并延长交AE 于H,连结OC, H 为AE 屮点.BH±AE.
AB = 24,由厶BOCsgAH,得一=—：.AH= — , AE=——，又HBGDs/\AGE,
AB All 13 13
则— = — =
11.如图，延长 AP 交OQ 于点 Q,连结 AH,BD,QB,QC, QH,
A G AE 24
TAB 为G>q 的直径，:.ZBDA=ZBDQ = 90° ,故BQ 为O Q 的直径，于是CQ 丄BC,
BH 丄HQ.又・・•点H 为△ABC 的垂心,:.AH 丄BC, BH 丄AC,所以AH//CQ, AC"HQ,即四 边形
ACQH 为平行四边形,・・・P 为CH 的中点.12.连结AC, AD, BC, BD,并且过C, D 两点分别作 CE1.AB 于 E, DF1AB 于 F,贝0 CE//DF. V ZACB= ZADB = 90° ,・•.
PA 2 = BD 2 = BFVAB ,两式相减得(PA + PB) (PA ~PB) =AB(AE~BF) =AB(PA ~PB).于 是AE —BF=PA —PB,即PA~AE=PB~ BF, :.PE=PF ，也就是说点P 是线段EF 的中点， 因此MP 是直角梯形
CDFE 的屮位线，于是有MP 丄AB,从而可得MP 分别与。人与OB
八2
(A
1002
(100?
x + 4
+ 4 +——
X +——
/
(
才)
L x 丿
6.C
7.c 提示：设另一条公切线与G )q 切于点c,与oq
切于点D,过q 作丄0』,
