一．解答题（共21小题）
1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE 中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．
（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有_________，请选择一个你认为正确的结论进行证明．
（2）若MC=，求BF的长．
2．（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
3．（2010•崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，
AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．
（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；
（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？
（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．
4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
6．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，
求证：AB2=AD•AC．
7．（2014•铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．
8．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．
9．（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2=BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：．
10．（2013•崇明县一模）如图，△ABC是等边三角形，且AD•ED=BD•CD．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．
11．（2013•徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．
12．（2013•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE 相交于点F，∠AFD=∠BEC．
求证：（1）AF=CE；
（2）BF2=EF•AF．
13．（2013•奉贤区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．
（1）求证：△FDC∽△FBD；
（2）求证：．
14．（2013•道外区一模）如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．
（1）求证：PE=PA；
（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=4，求线段NG的
长．
15．（2013•徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．
16．（2012•邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证：
（1）AE=BD；
（2）△BOE∽△COD．
17．（2012•淮北模拟）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．
18．（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA；
（2）BO•BE=BC•AE．
19．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．
20．（2012•嘉定区一模）如图，己知△ABC中，BC=60，BC边上的高AH=40；矩形DEFG的顶点D、E在边BC 上，顶点G、F分别在边AB、AC上，设EF的长为x，矩形DEFG的面积为y．求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
