实验一采样率对信号频谱的影响

实验一 采样率对信号频谱的影响

1．实验目的

（1）理解采样定理；

（2）掌握采样频率确定方法；

（3）理解频谱的概念；

（4）理解三种频率之间的关系。

2．实验原理

理想采样过程是连续信号x a (t )与冲激函数串M (t )的乘积的过程

∑∞

-∞=-=

k s kT t t M )()(δ (7-13) )()()(ˆt M t x t x

a a = (7-14) 式中T s 为采样间隔。因此，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，调制信号是连续信号x a (t )，载波信号是冲激函数串M (t )。显然

)()()()()(ˆs k s a k s a a kT t kT x kT t t x t x

-=-=∑∑∞-∞=∞-∞=δδ (7-15)

所以，)(ˆt x

a 实际上是x a (t )在离散时间kT s 上的取值的集合，即)(ˆs a kT x 。 对信号采样我们最关心的问题是，信号经过采样后是否会丢失信息，或者说能否不失真地恢复原来的

模拟信号。下面从频域出发，根据理想采样信号的频谱)(ˆΩj X a

和原来模拟信号的频谱)(Ωj X 之间的关系，来讨论采样不失真的条件

∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s s a kj j X T j X )(1)(ˆ (7-16)

上式表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率Ωs ＝2π／T s 为间隔周期延拓，其频谱的幅度与原模拟信号频谱的幅度相差一个常数因子1／T s 。只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。根据式(7-16)可知，要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs ≥2Ω。这就是奈奎斯特采样定理：要想连续信号采样后能够不失真地还原原信号，采样频率必须大于或等于被采样信号最高频率的两倍

h s Ω≥Ω2，或者h s f f 2≥，或者2

h s T T ≤ (7-17) 即对于最高频率的信号一个周期内至少要采样两点，式中Ωh 、f s 、T h 分别为被采样模拟信号的最高角频率、频率和最小周期。

在对正弦信号采样时，采样频率要大于这一最低的采样频率，或小于这一最大的采样间隔才能不失真地恢复信号。对正弦信号采样时，一般要求在一个周期至少采样3个点，即采样频率h s f f 3≥。

3．实验内容

（1）采样率的确定

在本实验中要用到正弦信号、余弦信号和矩形波：

正弦信号：sin(20πt)；

余弦信号：cos(20πt)；

矩形波：频率为50Hz、占空比为1的矩形波

（2）计算采样后所得序列的频谱

①正弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；

②余弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；

③矩形波在采样率为100Hz、400Hz和800Hz时采样所得序列的频谱；

（3）分析不同信号在不同采样率下频谱的特点

4．实验步骤

（1）复习并理解时域采样定理；

（2）编写Matlab程序计算不同采样率下信号的频谱；

（3）调试程序，排除程序中的错误；

（4）分析程序运行结果，检验是否与理论一致。

5．实验报告要求

（1）阐明实验的目的、原理和内容；

（2）打印主要程序并粘贴在实验报告中；

（3）打印实验结果并粘贴在实验报告中；

（4）针对实验结果加以分析和总结。

6．思考题

（1）对相同频率的正弦和余弦信号，均采用信号频率2倍的采样率采样时所得序列的频谱有何不同？为什么？

（2）50Hz的矩形波的采样率为何不能为100Hz？

（3）对矩形波，要完全不失真采样率应为多少？一般采样率为信号频率的多少倍时就可近似认为没有失真？

例3-5-1试求信号x(t)＝sin(100πt)用采样率为80Hz、100Hz、101Hz、150Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为。

解：频率分辨率为，则频域采样点数分别为160、200、202和300。程序如下：

deltf=;%频率分辨率

Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;%采样率

N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数

n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点

x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);%采样

x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4/Fs4);%采样

y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换

y1=y1.*conj(y1)/N1^2;y2=y2.*conj(y2)/N2^2;%计算功率

y3=y3.*conj(y3)/N3^2;y4=y4.*conj(y4)/N4^2;%计算功率

subplot(2,2,1);plot((0:49)/Fs1,x1(1:50));

xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 -1 ]);text,,'采样率为80Hz的时域波形');

subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(功率)');text(10,,'采样率为80Hz的频谱');