第一章§11
证明：都是的倍数。
n a a a ,,21 m 存在个整数使
∴n n p p p ,,21n
n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又是任意个整数
n q q q ,,,21 n m
p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即是的整数n n a q a q a q +++ 2211m 2
证： )
12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )
12)(1(/6++n n n 3
证： 不全为b a , 0
在整数集合中存在正整数，因而
∴{}Z y x by ax S ∈+=,|有形如的最小整数by ax +0
0by ax + ，由带余除法有Z y x ∈∀,0
0000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则
，由是中的最小整数知S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(0000by ax +S 0
=r 下证第二题
by ax by ax ++∴/008P （为任意整数） by ax by ax ++/00 y x ,b by ax a by ax /,/0000++∴ 又有).,/(00b a by ax +∴b b a a b a /),(,/),( 故00/),(by ax b a +∴)
,(00b a by ax =+4
证：作序列则必在此序列的某两项之间
,2
3,
,2
,
0,2
,,2
3,b b b b b b -
--
a
即存在一个整数，使
成立q b q a b q 2
12+<≤ 当为偶数时，若则令，则有
)(i q .0>b b q
a bs a t q s 2
,2-=-==2
2220b t b q
b q a b q a t bs a <
∴<-=-==-≤ 若 则令，则同样有0
a bs a t q s 2
,2+=-=-
=2b t <
当为奇数时，若则令，则有)(ii q 0>b b q a bs a t q s 2
1
,21+-=-=+=
2
021212
b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-
=-=≤-
若 ，则令0
1,21++=-=+-
= 则同样有 2
b t ≤
综上 存在性得证 下证唯一性
当为奇数时，设则b 11t bs t bs a +=+=b s s b t t >-=-)(11而 矛盾 故b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤
≤
1112
,2
1
1,t t s s ==当为偶数时，不唯一，举例如下：此时
为整数b t s ,2
b
2
,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅2
,2,222211b
t b t t bs t bs a ≤
-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从
而证明S 不是整数
（1）令S=，取M=这里k 是使最大n
14131211+++++
p k 75321⋅⋅⋅-n k ≤2整数，p 是不大于n 的最大奇数。则在1，2，3，┄，n 中必存在一个，k
n 20=所以MS=n
M
n M M M M ++++++
032由M=知
，必为整数，
显p k 7532
1
⋅⋅⋅-2M n
M
M ,,3 27530p n M ⋅⋅=
然不是整数，
MS 不是整数，从而S 不是整数∴（2）令M=则 SM=
，)12(753
1
-⋅⋅-n k 121253++-+++n M n M M M 由M=知，而)12(7531
-⋅⋅-n k 1
2,,5,3-n M M M 不为整数1
2)
12(753121+-⋅⋅=
+-n n n M k SM 不为整数，从而也不是整数∴1
21
5131++++=
n S 第一章§2
1．证：设是a ，b 的任一公因数，|a ，|b
d '∴d 'd '由带余除法
b
r r r r q r r r q r r r q r b r bq a n n n n n n n n n n <<<<≤==+=+=+=-++---1111112221110,,,,, 。
∴n r b a =),(|， |，┄, |,
∴d '1bq a -1r =d '221r q r b =-d '),(12b a r q r r n n n n =+=--即是的因数。
d '),(b a 反过来|且|，若则，所以的因),(b a a ),(b a b ),,(|b a d ''b d a d |,|''''),(b a 数都是的公因数，从而的公因数与的因数相同。
b a ,b a ,),(b a 2．见本书P2，P3第3题证明。
3．有§1习题4知：使。，,,,0,,Z t s b Z b a ∈∃≠∈∀2
||,b t t bs a ≤
+=，使如此类推知：11,t s ∃∴,,22||||,2
111 b t t t t s b ≤≤
+= 且
;,,12n n n n n n t s t t t s +=∃--;,,11111++-+++=∃n n n n n n t s t t t s 12212
|
|2||2||2||||+--≤≤≤≤≤
n n n n n b t t t t 而b 是一个有限数，使,N n ∈∃∴0
1=+n t ，存在
n n n n t t t t t t t t t b b a =======∴+)0,(),(),(),(),(),(1211
