第三节 等比数列
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12
D ．24
解析 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)， 得x 2＋4x ＋3＝0. ∴x ＝－1(舍去)，x ＝－3.
∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.
等比中项公式比定义法更直接．注意x ＝－1不满足等比数列的条件．
答案 A
2．(2013·全国大纲卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10) B.1
9(1－310) C ．3(1－3－10)
D ．3(1＋3－10)
解析 由题意3a n ＋1＋a n ＝0，得3a 2＋a 1＝0.又a 2＝－4
3，故a 1＝4；a n ＋1＝－13a n ，故{a n }为以－1
3为公比，以4为首项的等比数列，所以
S 10＝4[1－(－13)10
]
1＋13
＝3[1－(13)10
]，所以选C.
答案 C
3．若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝( )
A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11
解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，
得q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25
)
a 1(1－22)
＝－11. 答案 D
4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，
∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.
又∵a m ＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 答案 C
5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 2a 4
＝1，S 3＝7，则S 5＝( )
A.152
B.314
C.334
D.172
解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q ＞0，且a 23＝1，即a 3＝1.
∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12，或q ＝－13(舍去)，a 1＝1
q 2＝4.
故S 5＝4⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫1－1251－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314
. 答案 B
6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1
＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )
A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m
B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m
C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2
D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 本题考查等差、等比数列的证明． c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋m
a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝q m ·q m ·…·q m m 个＝qm 2. 答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2013·广东卷)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.
解析 ∵a 1＝1，q ＝－2，∴|a 2|＝2，a 3＝4，|a 4|＝8. ∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案 15
8．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.
解析 ∵x 2－5x ＋4＝0的根为1和4，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，∴S 6＝1×(1－26)1－2
＝26－1＝63.
答案 63
9．(2014·徐州市检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________．
解析 设公比为q,2a 3＝a 4＋a 5， 2a 3＝a 3q ＋a 3q 2，又a 3≠0， ∴2＝q ＋q 2，q ＝1或q ＝－2.
当q ＝1时，S k ＝k ·a 1＝33，S k ＋1＝(k ＋1)a 1＝－63 S k ＝33说明a 1>0，S k ＋1＝－63说明a 1<0，矛盾， ∴q ＝－2.S k ＋1－S k ＝a k ＋1＝－96，
S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝－63＋(－96)·(－2)＝129. 答案 129
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2013·四川卷)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1
和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．
解 a 1q －a 1＝2，得a 1(q －1)＝2.
由4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2得q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. ∴数列的前n 项和S n ＝3n －12.
11．(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (Ⅰ)推导{a n }的前n 项和公式；
(Ⅱ)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (Ⅰ)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n
＝a 1
(1－q n
)
1－q ，∴S n
＝⎩⎨⎧
na 1
，q ＝1，
a 1
(1－q n
)
1－q
，q ≠1.
(Ⅱ)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，
