2016年全国高中数学联赛精彩试题

2016年全国高中数学联赛试题

一、填空题

1．设实数a 满足3

911||a a a a <-<，则a 的取值范围是____________. 【解】由于||,0a a a <\<，3

911||a a a a <-

33

911,

911,a a a a a a ì<-ïí-<-ïî

解之得，2310

(

,)33

a ?-

2.设复数,z w 满足||3z =，()()74i z w z w +-=+，其中i 是虚数单位，,z w 分别是,z w 的共轭复数，则(2)(2)z w z w +-的模为_____________. 【解】

222222()()||||74i,||||,||||7,4i

z w z w z w zw zw z w z w zw zw +-=-+-=+-蝄-=-=||3z =，22||9,||2z w ==，

22(2)(2)||4||2()988i 18i z w z w z w zw zw +-=-+-=-+=+， |(2)(2)|1+64=65z w z w +-=.

【点评】2Re ,2Im z z z z z z +=-=

3.正数,,u v w 均不等于1，若l o g l o g 5,l o g

l o g 3u v

v

w

v w w u v +

=+

=

.则log w u =_______.

【解】log u let v a =，log v w b =,由于lg lg lg log log log 1lg lg lg u v u v w w

v w w u v u

鬃

==，

Then 1log w u ab =

，11

log log 5,log log 3u v v w vw w a b ab u v a b

+=++=+=+=， 14log 5

w u ab \=

=. 【点评】换元法.

4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率是_________________.

【解】A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币ÛA 中取走的纸币面值之和小于B 中取走的纸币之和，

当袋子A 中取走2张1元时，有233C =种取法，只要B 不取2张1元即可，有227318C C -=，

其余情况均不符合题意，故22

237322

57()9

()35

C C C P A C C -==.

5.设P 为一圆锥的顶点，,,A B C 是底面圆周上的三点，满足090ABC

?，M 为AP 的中

点.若1,2,2AB AC AP ===，则二面角M BC A --的大小为

______________.

【解】

1

2

2tan 313

4

MN M BC A NB <-->===´,2arctan 3M BC A <-->=.

6.设函数4

4

()sin

s 1010

kx kx

f x co =+，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=?，则k 的最小值是___________. 【解】

442222222

1cos 115()sin s (sin s )2sin s 1sin 11010101010102522

kx

kx kx kx kx kx kx kx f x co co co -=+=+-=-=-312cos 445

kx =+, 当且仅当5()m x m Z k

p

=

?时，()f x 取到最大值，对于任意一个长为1的区间(,1)a a +至少包含一个最大值点，从而

51,5k k

p

p <>.

反之，当5k p >时，对于任意一个区间(,1)a a +均包含()f x 的一个完整周期，此时，

{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=?成立，

综上，正整数k 的最小值为[5]116p +=. 7.设w 为正实数，若存在,a b (2)a b p p ??，使得sin sin 2a b w w +=，则w 的取值范围

是______________

【解】sin sin 2a b w w +=，sin sin 1a b w w ==， 因为2a

b p p ??，所以2a b w p w w w p ??，

若存在,a b (2)a

b p p ??，使得sin sin 2a b w w +=，则

22l 222

k p p

w p p

p w p ?<+?， 当4w ³时，[,2]w p w p 区间长度不小于4p ，必存在,k l ；

当04w <<时，[,2](0,8)w

p w p p Ì， 当5222p p w p w p ??，1524w w ３且，无解，舍； 当59222p p w p w p ?

?，9

5

4

2

w ＃； 当91322

2p p w

p w p ??，13913

4424w w ＃＃，， 综上，9513

[,][,)42

4

w 稳

+?. 8.

9.（16分）若实数a 、b 、c 满足242a

b

c

+=，424a

b

c

+=，求c 的最小值. 【解】设22,2a

b

c

x y z ===，则

222,x y z x y z +=+=，则

2222

2

2

4

2

3

3

1113

()2,210,2

222444

y y z y y z y z y y z yz y z y y y -+=-++=-++==+=++匙

25

log 33

c ?.

【题目】在ABC D 中，已知：23AB AC BA BC CA CB ???.求sin C 的最大值.（A 卷）

【解】23AB AC BA BC

CA CB ???，即

cos 2cos 3cos bc A ca B ab C +=，由余弦定理，

22222222223222b c a c a b a b c bc ca ab bc ca ab

+-+-+-+=，化简，得