例题1 一轻绳跨过一定滑轮,滑轮视为圆盘,绳的 两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2,m1< m2 如图 所示。设滑轮的质量为m ,半径为r,所受的摩擦阻力 矩为Mτ。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度 和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 T1 T2 的作用,两边的张力不再 T 1 T 2 相等,设物体1这边绳的张 a 力为T1、 T1’(T1’= T1) , a 2 0 T’ N’ h 对于物体,由质点动能定理,得 P’ 1 1 2 2 mgh T ' h = mv mv0 2 2 T P 由牛顿第三定律 T = T' 由于绳与圆盘之间无相对滑动,故有 h = R v = Rw 解上述方程,可得 m v= 2 gh M / 2 m 例题: 一根质量为m、长为 L的均匀细棒OA(如图 ),可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 ,今使棒从水平位置开始自由下摆,求细棒摆到竖 直位置时其中点C和端点A的速度。 解 先对细棒OA所受的力作 一分析;重力 G 作用在棒 的中心点C,方向竖直向下 ;轴和棒之间没有摩擦力 ,轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和轴的接触面且 通过O点,在棒的下摆过程 中,此力的方向和大小是 随时改变的。 R e 解 由于摩擦力不是集中作用于一点,而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上,力矩的计算要用积分 法。在图中,把圆盘分成许多环形质元,每个质元 的质量dm=rddre,所受到的阻力矩是rdmg 。 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 M = rdmg = g rreddr = ge 0 d 0 r dr 2 3 = geR 3 2 2,代入得 因m=eR M = mgR 3 = m i ( y i 2 x i 2 ) = Jx Jy 例:求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。 1 已知圆盘 J z = mR 2 2 z 解: J z = J x J y m 1 Jx = J y = Jz 2 1 = mR 2 4 x R y 六、刚体定轴转动定律的应用 题目类型 已知两个物理量,求另一个: 1.已知J和M,求 2.已知J和 ,求M 3.已知M和 ,求J d=L/2 O2 O2’ 五、垂直轴定理 z 对于薄板刚体,若建立 坐标系Oxyz,其中z轴与薄板 垂直,Oxy平面在薄板内,则 薄板刚体对z 轴的转动惯量等 于对x 轴的转动惯量和对y 轴 的转动惯量之和 。 O x ri xi y 源自文库 i m i = m i ri 2 Jz Jz = J x J y a = r 从以上各式即可解得 a= m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r J m2 m1 2 r = 1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m2 m g M / r 2 g a = T1 = m1 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g+M / r 2 g-a = T2 = m1 1 m2 m1 m 2
2 1 1 2 1 2 Md = Jw 2 Jw1 2 2 定轴转动刚体的动能定理: 合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量。 四、刚体的重力势能 Ep = mi ghi = m i m h i i i m hc 为刚体质心的高度 g = mg hc 结论 刚体的重力势能,等于把刚体的全部 质量集中于质心时质心的势能。 3. 机械能守恒定律 只有保守内力做功 则 : E1 = E2 = 常量 例题:如图所示,一质量为M、半径为R的圆盘,可绕一 无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳,一端悬挂质量 为m的物体。问物体由静止下落高度h时,其速度的大小 为多少?设绳的质量忽略不计。 R 解:对于圆盘,根据转动动能定律 1 2 1 TR = Jw Jw 2 2 1 J= MR2 2 力的空间累积效应: 力的功、动能、动能定理. 力矩的空间累积效应: 力矩的功、转动动能、动能定理. 一、力矩的功 力矩对空间的累积效应 F 在转动平面内 d dt : 刚体角位移为d d r O 质点元位移为 d r r 元功: A = F dr d = F dr cos ds = rd = Fds cos cos = sin = Fr cos d = Fr sin d = Md a m2 m1 g M / r = = r m m 1 m r 2 1 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时,有 2m1m2 T1 = T2 = g m2 m1 m2 m1 a= g m2 m1 上题中的装置叫阿特伍德机,是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下,能通过实验测出物体1和2的加速度a, 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2 相近,从而使它们的加速度a和速度v都较小, 这样就能角精确地测出a来。 1 因 J = ml 2 代入上式得 3 w= 3g l 所以细棒在竖直位置时,端点A和中心点C的速度 分别为 v A = lw = 3 gl l 1 vC = w = 3 gl 2 2 小 结 •刚体转动惯量的计算 •刚体定轴转动的转动定律的应用 •刚体定轴转动的功能关系 物体2这边的张力为 T2、 T2’(T2’= T2) m1 a m1 m2 G2 m2 G1 因m2>m1,物体1向上运动,物体2向下运动,滑轮以 顺时针方向旋转,Mτ的指向如图所示。可列出下列 方程 T1 G1 = m1a G2 T2 = m2 a T2r T1r M = J 式中 是滑轮的角加速度,a 是物体的加速度。滑 轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等,即 1 1 1 2 1 2 1 2 二、刚体的转动动能 1 m i : E ki = m i v i2 2 1 = m i ri 2w 2 2 w ri vi M m i 1 2 2 Ek = m i ri w i =1 2 1 1 2 2 = ( m i ri )w = Jw 2 2 i =1 2 3g w dw = 2l sin d 0 0 3g 解得: ω = (1 cos θ ) l
例题3 一半径为R,质量为m匀质圆盘,平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ,令 圆盘最初以角速度 w0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转,问它经过多少时间才停止转动? w d r dr m,l F N θ 1 mgl sin = J 2 式中 O mg 1 2 J = ml 3 3g sin 得 = 2l 由角加速度的定义 dω dω dω dθ =ω = = dθ dt dθ dt 3g sin θdθ 有 ωdω = 2l 对上式积分,利用初始条件, w m,l O FN θ mg 解题步骤 1.确定研究对象; 2.受力分析; 3.选择参考系与坐标系; 4.列运动方程; 5.解方程; 6.必要时进行讨论。 注意以下几点: 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的; 2.要选定转轴的正方向,以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负; 3. 系统中有转动和平动, 转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律 大学物理学电子教案 刚体的转动 4-2 4-3 转动定律(下) 定轴转动的功能关系 复 习 dw M = Jα= J dt α 转动惯量是转动 (1) M 一定,J 惯性大小的量度; (2)M 的符号:使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正; (3)J 和质量分布有关; (4)J 和转轴有关,同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 定轴转动刚体的机械能: E机械 1 2 = mghc Jw 2 五、一般体系 体系中包含做定轴转动的刚体 和平动的物体 1. 动能定理 M m2 m1 A外 A内 = ( Ek平2 Ek转2 ) ( Ek平1 Ek转1 ) 2. 功能原理 A外 A非保内 = E2 E1 E = Ek平 Ek转 Ep 例2 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置, m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接,并可绕其转动.由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态,当其受到微小扰动时,细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度. 解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用,由转动定律得 F 定义:力矩的功 dA = Md 对转动物体,力做的功力矩的功 1 2 : A = dA = M d 1 2 说明 (1)若M为恒力矩 A = M ( 2 1 ) (2)合外力矩的功 2 2 A = Md = ( M 1 M 2 L M n )d = M 1d M 2d L M nd = A1 A2 L An dA d = M = Mw 力矩的功率 P= dt dt 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘? 竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ? 4-2 转动定律 (下) 四、平行轴定理 质量为m 的刚体, 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ,则对任一与 该轴平行,相距为 d 的 转轴的转动惯量 d C m O J O = J C md 2 JO = J C md 说明 转动动能是转动时各个质元动能之和, 而不是一种新能量。 n n 三、定轴转动动能定理 dw d = Jw dw dA = Md = Jb d = J dt 1 2 : w2 2 1 1 2 = Jw 2 Jw 12 A = M d = w Jw dw 1 1 2 2 刚体内力做功之和为零: 内 = 0 A O
A A G w 在棒的下摆过程中,对转轴O而言,支撑力N通过 O点,所以支撑力N的力矩等于零,重力G的力矩则是 变力矩,大小等于mg(L/2) cos ,棒转过一极小 的角位移d 时,重力矩所作的元功是 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中,重力 矩所作的功是 l dA = mg cosd 2 2
yc J=J c md 2d m y J=J C+md 2 → my = 0 = m J = J c md 2 圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m 质量为m,长为L的细棒绕其一端的J 1 2 2 J P = mR mR 2 1 2 J c = mL 12 O1 O1’ L 2 1 2 J = J c m( ) = mL 2 3 R 2 2 根据定轴转动定律,阻力矩使圆盘减速,即 获得负的角加速度. 2 1 2 dw mgR = J = mR 3 2 dt 设圆盘经过时间t停止转动,则有 2 1 0 t g 0 dt = R w 0 dw 3 2 由此求得 3 R t= w0 4 g §4.3 定轴转动中的功能关系 l l A = dA = 02 mg cosd = mg 2 2 应该指出:重力矩作的功就是重力作的功,也可 用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角 速度w0=0,下摆到竖直位置时的角速度为w ,按 力矩的功和转动动能增量的关系式得 由此得 l 1 2 mg = Jw 2 2 mgl w= J 证明: OP 2=x 2 y 2 O' P2=x2 y+d P对Z轴的转动惯量 2 2 m O' P 2 = m x 2 y+d = m x 2 y 2+d 2 2 yd 2 = m OP 2+d 2 2 yd
J= m O' P 2 = m OP 2+d 2 2 yd = m OP 2 m d 2 m 2 yd