振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)
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2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案
1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其
固有频率。（10分）
解：令t A x
t A x ωωωcos ,sin == t A x
r
J m x
r J m r
x
J x m J x m T o o o o ωωθ22
2222
2222
2cos )(21)(21)(21212
121 +=+=+=+=
t kA kx U ω2
22sin 2121==
2
2
2222max max /2
1)(21r J m k
kA A x
r J m U T o o +=
=+∴=ωω
2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分）
)(t
2
x x m
11x k
(t P 22x k
解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形
对m 列运动微分方程： 022=+x k x m
(2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3)
由(3)式可以得出：
12
21)(k x k t P x +=
将上式代入(1)式可得出：
2
112)(k k x
k t P x ++-=
将上式代入(2)式可得出：0)(2
12
2121=+-++t P k k k x k k k k x m
令m
k k k k k k e
e e =+=
ω,2
12
1，有 t k k k P t P k k k x k x
m e ωsin )(2
120212
+=+=+
t
k P t
k k k k P x e
e
e ωωωωωωsin )(11
sin )(11
12
102
2120-⋅=-⋅⋅+=
∴
3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分）
解：对物体m 列运动微分方程，有：
0)(1=--+x x k x c x
m 即：
t kA kx x c x
m ωsin =++ t A
ωsin 1=
x
m )x -
其稳态响应为：
)sin()
2()1(1222θωξ-+-⋅=
t s s k kA x
其中，2
0012arctan ,2,,s s
km
c m k s -====
ξθξωωω
4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。已知梁的初始条件为零。求解梁的响应。（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）（20分）
解：悬臂梁的运动微分方程为：
),(2244t x f t
y
S x y EI =∂∂+∂∂ρ （1） 其中：
)()(),(a x t F t x f -=δ (2)
令：
∑∞
==1)()(),(i i i t q x t x y φ
(3)
代入运动微分方程，有：
),()(1
1
t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞
=∞
= φρφ (4)
上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：
⎰∑⎰∑⎰
=+''"∞=∞
=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q dx EI q 0
1
1
),()(φφφρφφ
(5)
利用正交性条件，可得：
)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω
(6) 其中广义力为：
)()()()()()(00
a t F dx a x t F dx t f t Q j L
j L
j j φφδφ=-==⎰⎰
(7)
由式（6），可得： ⎰⎰
-=
-=
L
j j j
L j j j
j d t F a d t Q t q 0
)(sin )()(1
)(sin )(1
)(ττωτφωττωτω （8）
利用式（3），梁的响应为：
∑⎰∑∞
=∞
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-==10
1)(sin )()(1)()()(),(i L
j j j i i i i d t F a x t q x t x y ττωτφωφφ (9)
5. 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。（20分）
解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：
3211l m J =，222222248
7)4(12l m l m l m J =+=
使用影响系数法计算系统刚度阵
（1）如图（1）所示，令11=θ，02=θ，
对杆1和杆2分别需要施加弯矩11M ，
21M 分别为：
21111169
4343l k l l k M =⋅⋅=
2112116
9
4343l k l l k M -=⋅⋅-=
（2）如图（2）所示，令01=θ，12=θ，
对杆1和杆2分别需要施加弯矩12M ，
22M 分别为：
21112169
4343l k l l k M -=⋅⋅-=
222111224
1
16921214343l k l k l l k l l k M +=⋅⋅+⋅⋅=
因此，系统刚度阵和质量阵分别为
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡+--=222121212141
16916916916
9l k l k l k l k l k K ，⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2221487
00
3l m l m M
因此，系统运动方程为
041
16916916
9169
487
0032121111221
222
1=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--
+⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθk k k k k l l m l m