韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述
根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−
b
a
x 1x 2=
c
a 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−b
a x 1x 2=
c a
，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0
（a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1.
求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=
−b±√b 2−4ac
2a
可得
x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−b
a
x 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=c
a
2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)
左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−b
a ，x 1×x 2=
c a
与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|
三、 韦达定理的应用
1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，
1A
2+
1B 2
，A −B
（2）求以1
A
、1
B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程
解(1)：由韦达定理知{
A +
B =−b a
A ×
B =
c a
∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =
b 2a
2−
2c a
=
b 2−2a
c a 2
A ３+
B ３
=(A +B
)3
−3AB (A +B )=−b 3
a 3+3bc a 2
=
−b 3+3abc
a 3
1
A 2
+1
B 2=A 2+B 2A 2B 2
=
b 2−2a
c a 2
÷c 2a 2=
b 2−2ac
c 2
A −
B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√
b 2−2a
c a 2
−
2c
a
|=√b 2−4ac a 2
=
√b 2−4ac
|a |
解(2)：由韦达定理知{
A +
B =−b
a A ×B =c a
⟹ A 2+A +1+B 2
+B +1=
b 2−2a
c a 2
−b
a
+2=
b 2−2ac−ab+2a 2
a 2
(A 2
+A +1)(B 2
+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca
a 2
∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=0
2. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2
) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根
∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1
x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n
)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2
n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n
)− x 1x 2(x 1n−1
+x 2n−1)
3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根
○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于5
4 ○
2求使A 2B
2+
B 2A 2
的值为整数的整数a
解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0
由韦达定理知{A +B =−1
A ×
B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54
⟹9×
a+44a
−2=5
4
⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a
解○2 原式=
(A+B )3−3AB (A+B )
AB
=1a+44a
−3=4a a+4−
3a+12a+4
=1−16
a+4
所以a+4被16整除 所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0
所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-20
4. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +
(c +1)=0都有两个整数根。
解:反证法，若存在满足条件的a 、b 、c
则由韦达定理知{x 1+x 2=−b
a
x 1x 2=c a
【1】和 {x 3+x 4=−b+1
a+1x 3x 4=
c+1
a+1
【2】显然a 与(a+1)必为一奇一偶 （1） 当a 为偶数时，（a+1）必为奇数，由【1】知b 、c 必为偶数，那么（b+1）、（c+1）
必为奇数，由【2】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，但若两数之和为奇数，那么必为一奇一偶，那么他们的乘积为偶数，与奇数相矛盾
（2） 当a 为奇数时，（a+1）必为偶数，由【2】知(b+1)、(c+1)必为偶数，那么b 、c 必为
奇数，由【1】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，同上知不存在这样的整数
综上所述，不存在这样的a 、b 、c
5．已知方程x 2−3x +2−k 2=0,k 为实数且k ≠0,证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。
解：∵∆=(−3)2−4(2−k 2)=1+4k 2>0
∴方程有两个不相等的实数根，设他们为x 1,x 2 且x 1≠x 2
由韦达定理知{x 1+x 2=3
x 1x 2=2−k 2
(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2−k 2−3+1=−k 2
∴−k 2≤0 又∵k ≠0 ∴(x 1−1)(x 2−1)<0 那么（x 1−1）、（x 2−1）中必有一个大于0
