《数值分析》课程实验报告
《数值分析》课程实验报告
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学号：
学院：
机电学院
日期：
2015 年X 月X 日
目
录实验一函数插值方法 1 实验二函数逼近与曲线拟合5 实验三数值积分与数值微分7 实验四线方程组的直接解法9 实验五解线性方程组的迭代法15 实验六非线性方程求根19 实验七矩阵特征值问题计算21 实验八常微分方程初值问题数值解法24
实验一函数插值方法一、问题提出
对于给定的一元函数的n+1个节点值。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：
0.4
0.55
0.80
0.95
1.05
0.41075
0.57815 0.69675 0.90
1.00
1.25382
求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
1
2
3
4
5
6
7
0.368
0.135
0.050
0.018
0.007
0.001
试构造Lagrange多项式，计算的,值。二、要求
1、利用Lagrange插值公式
编写出插值多项式程序；
2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；
3、根据节点选取原则，对问题用三点插值或二点插值，其结果如何；
4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。Newton插值多项式如下：
其中：
三、目的和意义
1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；
2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
3、熟悉插值方法的程序编制；
4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验步骤
0.4
0.55
0.65
0.80
1.05
0.41075
0.57815 0.69675 0.90
1.00
1.25382
求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
第一步：先在matlab中定义lagran的M文件为拉格朗日函数代码为：
function=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end
第二步：然后在matlab命令窗口输入：
>>>> x=;y=; >> lagran(x,y)
回车得到：
ans =121.6264
-422.7503
572.5667 -377.2549
121.9718
-15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为
p=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.971 8x-15.0845
第三步：在编辑窗口输入如下命令：
>> x=; >> y=121.6264*x. -422.7503*x. +572.5667*x. -377.2549*x.
+121.9718*x-15.0845; >> plot(x,y)
命令执行后得到如下图所示图形，然后>> x=0.596; >> y=121.6264*x. -422.7503*x. +572.5667*x. -377.2549*x.
+121.9718*x-15.084 y =0.6262
得到f=0.6262
同理得到f=1.0547
1
2
3
4
5
6
7
0.368
0.135
0.050
0.018
0.007
0.002
0.001
试构造Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算的,值。
实验步骤：
第一步定义function=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end 定义完拉格朗日M文件
第二步：然后在matlab命令窗口输入：
>>>> x=; y=; >> lagran(x,y) 回车得到：
ans =0.0001
-0.0016
0.0186
-0.1175
0.4419
-0.9683
0.9950 由此得出所求拉格朗日多项式为p=0.0001x6-0.0016x5+0.0186x4-0.1175x3+0.4419x2-0.9683x+ 0.9950 第三步：在编辑窗口输入如下命令：
>> x=; >>
y=0.0001*x. -0.0016*x. +0.0186*x. -0.1175*x. +0.4419*x. -0.9683*x+0.9950; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形，然后>> x=1.8; >> y=121.6264*x. -422.7503*x. +572.5667*x. -377.2549*x.
+121.9718*x-15.084 y =0.1650
得到f=0.6262
同理得到f=2.3644
五、实验结论
插值是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，它是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
实验二函数逼近与曲线拟合
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。
t(分) 0
5
10
