工程测量 第五篇(测量误差的基本知识)

以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值， 纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为1，此直方图可 以形象描述偶然误差的规律性。当观测条件足够多时，直 方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。
偶然误差的规律性： 1、有界性：偶然误差的绝对 值不会超过一定的限值； 2、大小性：绝对值小的比绝 对值大的出现的可能性大； 3、对称性：误差出现正负的 可能性相同； 4）抵偿性：偶然误差的算术 平均值随观测次数增加而趋 于零；
二、偶然误差 在相同的观测条件下，对某对象作一系列观测，观测误差 的大小和符号表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。 若观测数据只含有偶然误差，在观测次数多的情况下，误 差呈现出统计学上的规律。

例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内角，计 算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为 3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现 的频率k／n，结果列于下表 ：
第二节 等精度条件下观测值的算术平均值
设在相同条件下对X观测了n次：
1 l1 X 2 l2 X n ln X [ ] [l ] n个式子相加： [ ] [l ] nX 得 X n n [] 令 n [l ] L 得 L X n 得 lim L X
2 2 [ [ ] 2 2 2 2 x] F n个式子相加得： [ F ] k [ x ] k n n 2 [ [2F ] 2 2 2 2 x] 令 m F； mx mF k 2 mx m F kmx n n
2、观测值的和、差函数
设函数F x y 则 F F （x x） （y y）可得 F x y 则 F 1 x1 y1 F 2 x 2 y 2 Fn xn yn 得2F 1 2x1 2y1 2 x1 y1 2F 2 2x 2 2y 2 2 x 2 y 2 2Fn 2xn 2yn 2 xn yn
测量一般采用中误差作为衡量精度的标准。 三、允许误差 （ 2~3 ）m 测量规定允许中误差为 f允 四、相对误差
k m D 1 (D / m )
相对误差不能用于衡量角度测量的精度。
例： 某水平角用经纬仪进行6次等精度丈量，其结果如下 表，试计算该角度观测值中误差。
序号 1 2 3 观测值l 25°23′20″ 25°23′17″ 25°23′18″ v -2 +1 0 vv 4 1 0
第五章 误差的基本知识
测量误差=观测值－真值（理论值）
第一节 测量误差产生的原因及其分类
测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造 成。其可以分为系统误差和偶然误差两大类。粗差是错 误，不是误差。
一、系统误差 在相同的观测条件下，误差保持同一数值、同一符号，或 者遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。 比如： 水准尺端部磨损； 水准尺倾斜； 水准尺弯曲； 水准尺的沉降; 目标倾斜…… 特性：累计！！！！！
2 B 2 x 2 y 2
m

) (mD Sin ) ( D cos
2 2
m

2 )
mD ( D
2 2
m

2 )
mB mD ( D
m

2 )
代入：mD 3mm，m 4， 206265，D 206.125m; mB 32 (206.125 1000 4 ) 2 5mm 206265
第五节 观测值及算术平均值的中误差 一、同精度观测值的中误差
V1 L l1 V2 L l 2 Vn L l n 对应式子相加得： 1 V1 L X 2 V2 L X n Vn L X
令 L X 整理得： 1 V1 2 V2 n Vn
mh m站 n 3 n mm
取3倍中误差作为限差，并考虑其他因素，得四等水准测量 高差闭和差的允许值为： f 10 n mm 平坦地区每km取16站，得 f 3 16 m m 12 m m
h允
km
m 则环形闭合差或往返不符值的中误差为：
h
S mkm mm 12 S mm
n
[] 由误差的抵偿性： lim 0 n n
算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为 最或是值。
第三节 衡量精度的标准
一、平均误差
二、中误差

1 2 n n [] n
m
2 2 2 [] 1 2 n n n
二、非线性函数的中误差
设非线性函数 F f ( x1 , x2 , , xn ) F F F 取全微分：dF dx1 dx2 dxn x1 x2 xn F F F 则真误差关系式为： F x1 x2 xn x1 x2 xn F 2 2 F 2 2 F 2 2 此式子是一线性表达式 ：m ( ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
一、线性函数的中误差
1、观测值的和、差函数
设倍函数F kx 则 F F k（x x）可得 F k x 则 F 1 k x1 F 2 k x 2 Fn k xn 得2F 1 k 2 2x1 2F 2 k 2 2x 2 2Fn k 2 2xn
2 2 2 [ 2[ x y ] [ ] [ ] y] 2 2 2 x F n个式子相加得： [ F ] [ x ] [ y ] 2[ x y ] n n n n 2 2 [ [ x y ] [ ] [2F ] y] 2 2 2 x 令 mF； mx m y 由于 lim 0 n n n n n 2 2 2 2 2 mF mx my mF mx my
三、测量精度分析
1、有关水准测量的精度分析 1）在水准尺上读一个数的中误差 ①水准仪置平的误差 由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的0.15 S 倍，其影响在水准尺上的读数为： m 0.15 ②瞄准误差 人眼把两点的视角小于1′的情况看做为一点。用放大倍 30 数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 60 2v v 30 S 照准精度在水准尺上的影响为： m v ③读数误差 读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺， 读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为： m m m m
由误差传播定律得：
m
2 f
3m m
2
mf 3
由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：
mf [ fi fi ] n
可推导出：
m
[ fi fi ] 3n
设真值为X的一系列观测值 l i , 相应的平均值为 L，真误差为 i , 改正数为Vi : 1 l1 X 2 l2 X n ln X
2 等式平方得： 2 1 V1 2 2 2V1 2 2 V2 2 2 2V2 2 n Vn 2
2Vn
[ ] [VV ] [V ] 所有式子相加，整理得 ： 2 2 n n n [ ] [VV ] 由[V ] 0 2 n n [l ] [l X ] [ ] 又 L X X n n n [1 2 3 ]2 [] 2 1 2 2 2 2 ( 2 1 2 n ) 2 1 2 2 1 3 2 2 n n n 1 2 1 2 [ 2 ] 2 ( 1 2 1 3 ) 2 [ 2 ] n n n [ ] [VV ] [ ] [ ] [VV ] n[ ] n[VV ] [ ] m 2 n n n n 1 n 即用观测值的改正数求 观测值的中误差。
同样可以推导出 F x1 x 2 x n
2 2 2 其函数中误差公式为： mF mx m m 1 x2 xn
3、线性函数的中误差
线性函数：F k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 其函数中误差公式为： mF k12 mx k m k 1 2 x2 n mxn
取3倍中误差作为限差，其允许值为： 依据测站数计算允许误差： 每km多于16站： f h允 10
nmm
f h允 40 S mm
每km少于16站： f
h允
40 S mm
2、有关水平角观测的精度分析 DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为±6″，则照准一 个方向的半测回的中误差为：m方 2 6 8.5
1）用测回法观测水平角的限差分析 ①半测回中误差 m半 m方 2 2 8.5 12
②上下半测回较差中误差 m m半 2 2 12 17
（规范取 36） 取2倍作为允许误差 f 允 2 17 34
③一测回测角中误差
4
5 6
25°23′20″
25°23′16″ 25°23′17″ β= 25°23′18″
-2
+2 +1 [v]=0
4
4 1 [vv]=50

解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛 尔公式）： [vv] 50
m n 1 6 1 3.2″
第四节 误差传播定律
有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。 由于观测值存在误差，由其计算的结果自Biblioteka Baidu也就存在误 差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的 定律称为误差传播定律。
解：B点坐标增量为：x D cos ；y DSin
2 2 则：m ( m cos ) ( DSin x D
m

2 2 2 ) m ( m Sin ) ( D cos y D
m

2 )
则点位中误差为： m m m (mD cos ) ( DSin
④测回差的中误差
m
m半
12 8.5 2 2
m测回差 m 2 8.5 2 12
取2倍作为允许误差 f 测回差允 2 12 24
3、菲罗列公式 设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：
m mai mbi mci
三角形的闭合差的计算关系式为： f i ai bi ci 180
1

2
读
2 1
2 2
2 3
四等水准测量中，τ″=20″，v=25倍，S最大为100m，相应 水准尺上读取一个数的中误差为m读=±2.1mm。
2）一个测站高差的中误差 一个测站高差为后视读数减前视读数，则一个测站的高差 中误差为： m 2m 3mm
站 读
3）水准路线的高差中误差及允许误差 设在两点间设了n个测站，其测得的高差中误差为
2 F
F 2 2 F 2 2 F 2 2 得函数F的中误差为：mF ( ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
P87例3：由A点放样B点，距离为D=206.125±0.003m，方 位角α=119°45′00″±4″，计算放样B点点位中误差。