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2014新湘教版九年级数学下
第一章 二次函数
（一）二次函数
1、二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 、二次函数2
y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
（二）二次函数的图像和性质
1、二次函数的基本形式
（1）二次函数基本形式：2
y ax =的图像和性质：
（2）2
y ax c =+的图像和性质：（上加下减）
（3）()2
y a x h =-的性质（左加右减）
a 的
符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a >
向上
()
00，
y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；
0x <时，y 随x 的增大而减小；
0x =时，y 有最小值0． 0
a <
向下
()
00，
y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；
0x <时，y 随x 的增大而增大；
0x =时，y 有最大值0．
a 的符
号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
0a > 向上
()
0c ，
y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；
0x <时，y 随x 的增大而减小；
0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下
()
0c ，
y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；
0x <时，y 随x 的增大而增大；
0x =时，y 有最大值c ．
a 的
符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a >
向上
()
0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．
a <
向下
()
0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
（4）二次函数()2
y a x h k
=-+的图象与性质
（5）二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质
2、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图：五点绘图法（列表-描点-连线）
利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴y 轴的交点，顶点.
3、二次函数图象的平移： 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
a 的
符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a >
向上
()
h k ，
X=h x h >0a <时，y 随x 的增大而增
大；x h <时，y 随x 的增大而减小；
x h =时，y 有最小值k ．
a <
向下
()
h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；
x h =时，y 有最大值k ．
a 的符
号
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
性质
0a > 向上
2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 2b
x a
=-
2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而增大； 2b
x a
<-
时，y 随x 的增大而减小； 2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -． 0a < 向下
2424b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 2b
x a
=-
2b
x a
<-
时，y 随x 的增大而增大； 2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而减小； 2b
x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -． 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】
平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
y=2(x-4)2-3
y=2(x-4)2
y=2x 2
