专题20 简单的四点共圆
破解策略
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共 圆”．四点共圆常用的判定方法有：
1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．
如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的 圆上．
O
D A B
【答案】（1）略；（2）A B ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值是2．
【提示】（1）如图，连结OP ，取其中点O ＇，显然点M ，N 在以OP 为直径的⊙O ＇上，连结NO ＇并延长，交⊙O ＇于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2，而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．
Q M
N O'
D O
A
B
C
（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ＇，且直径OP ＝2，而MN 为⊙O ＇的一条弦，故MN 为⊙O ＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON ＝90°．
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．
D
C
A
【答案】（1）略；（2）AD 3
DE ；（3）AD ＝DE ·tan α． 【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．
（2）同（1），可得A ，D ，B ，E 四点共圆，∠AE D ＝∠ABD ＝30°，所以
AD
DE
＝ tan30°，即AD ＝ 3
DE ．
3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．
D
B
C
A
E
【答案】略
4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．
如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．
D
C
A
【答案】略
诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．
例题讲解
例1 如图，在△ABC 中，过点A 作AD ⊥BC 与点D ，过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：B ，E ，F ，C 四点共圆．
G
证明 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ，D ，F 四点共圆． 连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ． 因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，
所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ， 所以B ，E ，F ，C 四点共圆．
例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为»BC
边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE
＝2∠MA D ．
证明 如图，连结DE ．
因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，
从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ． 由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ， 所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ． 进阶训练
1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．
（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；
（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．
A
B
C
D
E
P N M
A
B
C
D
E P N M
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
答案：（1）略
（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2． 【提示】
（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．
（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°． 2．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．
（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；
（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；
（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．
答案：（略）；（2）AD ＝
3
3
DE ；（3）AD ＝DE ·tan α． 【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．
（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AE
DE
＝tan30°，
图2
A
B
C
D
E
M
图1
A
B
C
D E
F
G
A
B
C D O
M N Q
O ′
P
图1 图2
A B C
D
P
M
N
O
A
B
C D
O
M N
P
图1
