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中考数学压轴题专项汇编专题简单的四点共圆

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1 / 5 专题20 简单的四点共圆

破解策略

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共

圆”．四点共圆常用的判定方法有：

1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的

圆上．

ODABC

【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．

【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

QMNO'DOABCP

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

DBCA

【答案】（1）略；（2）AD＝33DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE． 2 / 5 （2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以ADDE＝ tan30°，即AD＝ 33DE．

3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

DBCAE

【答案】略

4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

DBCA

【答案】略

诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．

例题讲解

例1 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆． G 3 / 5

证明 因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆．

连结EF，则∠AEF＝∠ADF．

因为AD⊥BC，DF⊥AC，

所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，

所以B，E，F，C四点共圆．

例2 在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为»BC边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD．

证明 如图，连结DE．

因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE，

从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN．

由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB，

所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD．

进阶训练

1．已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）如图1，若直径AB与CD相交成120°角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值；

（2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值． A

B C D E

P N M A

B C D E

P N

M A

B C D E F A

B C D E

F 4 / 5

答案：（1）略

（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值为2．

【提示】

（1）如图，连接OP，取其中点O′，显然点M．，N在以OP为直径的⊙O′上．连结NO′并延长，交⊙O′于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O′，且直径OP＝2．而MN为⊙O′的一条弦，故MN为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN＝90°．

2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；

（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由；

（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含α的三角函数表示）．

答案：（略）；（2）AD＝33DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1）可得A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝30°，所以AEDE＝tan30°，图2 A

B C D E M

N

图1 A

B C D E F

G A B C

D O M N Q O′ P

图1 图2 A B C D P

M N

O

A B C

D O M N P

图1 5 / 5 即AD＝33DE．

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初中数学四点共圆

初中数学四点共圆

如图△ABC中，AB>AC点D、E分别在边AB,AC上，且BD=CE,∠BAC=60O,∠BAC的外角平分线交△ADE的外接圆于A,P两点。求证：A,P,B,C四点共圆。

解：连接PE、PD、PC.

∵∠BAC=60o,AP是∠BAC的外角平分线，

∴∠DAP=60o,∠EAP=120o.

在圆中

∠4=∠PAD=60o,∠EPD=∠EAD=60o.

∴∠4=∠EPD=60o

△ PED是等边三角形

∴PE=PD

∵∠1=∠2,

∴∠CEP=∠BDP

在△CEP与△BDP中

PDPEBDPCEPBDCE,,

∴△CEP≌△BDP(SAS)

∴PC=PB;

∠3=∠BPD,

∵∠3+∠DPC=∠DPE=60o,

∴∠BPC=∠BPD+∠DPC=60o,

∴△BPC是等边三角形。

∴∠PBC=60o.

∠EAP+∠PBC=120o+60o=1800, PBCAED4321PBCADE

所以点A,P,B,C四点共圆。

四点共圆在中考压轴题中的应用——以广东省近五年的中考题为例

四点共圆在中考压轴题中的应用——以广东省近五年的中考题为例

42中学数学研究2020年第6期(下)

四点共圆在中考压轴题中的应用

—–以广东省近五年的中考题为例

广东省珠海市文园中学(519000)伍磊

摘要四点共圆在初中几何中应用比较广泛,尤其是在

近五年的广东省中考题应用更多,新课程背景下的初中数学

要求学生形成发散思维,四点共圆为几何题的证明提供了新

的方法,对于培养学生的思维水平有着非常重要的作用.

关键词四点共圆;压轴题;圆周角;符号语言

四点共圆在中考的直接考察意图不明显,但通过四点共

圆将各类问题转化为圆的常见问题,再用圆的基本性质将问

题解决,达到事半功倍的效果,有助于学生形成新的数学模

型.本文通过反证法证明四点共圆的两个判定定理,并将它

们应用在近五年广东中考题中,再将常规方法和四点共圆的

方法进行对比,总结出四点共圆的优点,培养学生的综合解题能力和严谨的学习态度.

1四点共圆的两个判定方法

定理1四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四

个顶点共圆.

将定理1转化为符号语言和图形语言.

如题图1,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180◦.

求证:点A,B,C,D四点共圆.

证明:(反证法)因为不在同一直线的三个点确定一个圆,

所以设过点A,B,C三点的圆为⊙O,假设D不在⊙O上,

所以D就在⊙O外部或内部.

∴与x轴正半轴交点的坐标为(2−n,0)则此抛物线

解析式为y=a(x−n)(x−2+n),即y=ax2−2ax−

an(n−2),

∴a=a,b=−2a,c=−an(n−2)

1⃝ab=a(−2a)=−2a2<0,故1⃝正确;

2⃝b2−4ac=(−2a)2−4a(−an)(n−2)=

4a2(n−1)2󰀄0,故2⃝正确;

3⃝第一种方法:

a+b+2c=a−2a−2an(n−2)=−a(2n2−4n+1)

=−2a(n−2+√22)(n−2−√22)

∵−1

∴n−2+√22<0,n−2−√22<0,

∴(n−2+√22)(n−2−√22)>0,

又∵a>0,

∴−2a(n−2+√22)(n−2−√22)<0,

【全国通用版】2022年中考数学一轮复习：《圆》 压轴题专项练习题(Word版,含答案)

【全国通用版】2022年中考数学一轮复习：《圆》 压轴题专项练习题(Word版,含答案)

第 1 页 共 28 页 【全国通用版】2022年中考数学一轮复习：《圆》 压轴题专项练习题

1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．

（1）求证：EC是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD＝BD，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点P．

（1）求证：AB∥DP；

（2）若BC＝3，DP＝2，求⊙O的半径．

3．如图，AB是⊙O的直径，OP⊥OA，点C是劣弧上一点，过点C作⊙O的切线CM， 第 2 页 共 28 页 交OP的延长线于点M，BC交OM于点N．

（1）求证：MN＝MC；

（2）若AB＝6，＝，过点A作AD∥CM交⊙O于点D，求AD的长．

4．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．

（1）求证：DA为⊙O的切线；

（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．

6．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD， 第 3 页 共 28 页 BC，∠F＝∠D＝30°．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若AE＝2，OE＝1，求AD的长．

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线．

（2）若∠ADC＝30°，AB＝8，AE＝3，求DE的长．

8．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，过点A作BC的平行线交BO于点F．

初中四点共圆的6种判定方法证明

初中四点共圆的6种判定方法证明

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一、引言

初中数学中，学生经常需要证明四点共圆的问题。四点共圆是指四个点在同一条圆周上。本文将介绍初中四点共圆的6种判定方法，并对每种方法进行详细的证明和分析。