第4章 高斯光束

1 TL 0
Z 1
q( z ) if z
2 ( z ) 0 2 R( z ) z
2 z 1 2 0 2 f 1 z
可将基模高斯光束看作具有复数波面曲率半径的球面波光束
1 1 i q(z) R(z) 2 (z)

光腰处：
1 1 Re R( z ) q( z ) 1 I 1 m 2 (z) q( z )
0 2 2 z 1 ( ) z
0
F
Z=0（束腰处） R(z) → ∞
2 0 z 2 0 | z | 2 0 | z |
(束腰处等相面为平面）
2 2 0 0 | R( z ) | 逐渐减小，曲率中心在 ( , , )
第四章：高 斯 光 束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。
理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中，最重要且 最具典型意义的就是基模高斯光束。 无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光强 分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强逐渐减弱， 呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为“高斯光束”。
振幅因子 相位因子
( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径 R( z ) ——高斯光束在z处的波面曲率半径
0
——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
4.1.2 高斯光束的基本性质 1. 振幅分布及光斑半径
A(r)
(z)
A0
A0 e
0
F z
0
F
z z 1 0 1 f 0 2
( F l )( F l ) FF
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
0 的情形
0
特例：若入射束腰在物方焦点处， l
F l F , 0
F
： 最大值
0
当物点位于透镜前焦点，像点不在无穷远处，与几何光线不同
4.3 高斯光束的聚焦和准直
4.3.1 高斯光束的聚焦 使激光束会聚为极小点，得到光能集中的小光斑
1 1 i 2 q2 R2 2
2 2
B 1 2 2 A B2 R1 2

1
B A R1 R2 B A C R1
2
B2
2
f 2 R( z ) z 1 z
2 0 f
0
( z ) 0，z R( z ) 0 ) 2. 任一 坐标 z处的光斑半径 ( z及等相面曲率半径 R( z )
1. 腰斑 0 （或共焦参量
l （1） F
当l
0随 l 的减小而减小
0(min)
0 时：
0
f 2 1 ( ) F
l
F F 1 f
2
F
lC 2 0 2 2 llC 2 (1 ) ( ) ( l lC ) 2 2 2 A q0 B F F RC lC 2 0 2 2 llC 2 1 l ACq0 2 BD (1 ) ( ) ( l lC ) (1 ) F F F F
AR1 B R2 CR1 D
（遵循ABCD变换法则）
（2）经过薄透镜的变换规律
R1 ( z )
R2 ( z )
1 1 1 R2 R1 F
O2
O1
A TF C
1 B 1 D F
0 1
F
（遵循ABCD变换法则）
AR1 B R2 百度文库CR1 D
2 0 | R( z ) | 2 （极小值）
2 2 0 0 | R( z ) | 逐渐增加，曲率中心在 ( , )
Z=± ∞
|R(z)|≈|z|→ ∞
(无限远处等相面为平面）
3. 远场发散角
(z)
F
0
B
0
F
0
z
2 ( z ) 0 lim 2 0.6367 2 1.128 z 0 0 f f
1 1 1 i q0 q(0) R(0) 2 (0)
0 2 q0 i if
§4.2 高斯光束的传输与变换规律
1. 普通球面波的传输与变换规律
（1）自由空间传输
R( z2 ) R( z1 ) z2 z1
A TL C B 1 D 0 L 1
1 1 z if 2 q( z ) if z f z 2 1 i R( z ) 2 ( )
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
（2）高斯光束经过薄透镜的变换
M1
M2
R1
1 1 1 R2 R1 F
1 2
1 1 1 1 i ( ) i 2 q2 R2 2 R1 F 2 2 1 1 1 1 ( i ) 2 R1 1 F q1 F
A B 1 2 C D R 0 1
（3）经过球面镜反射
AR1 B R2 CR1 D
2. 高斯光束的传输与变换规律 （1） 高斯光束在自由空间的传输
0 2 束腰处： z 0，q(0) if i
自由空间变换矩阵： 由ABCD法则：
F
R2
Aq1 B q2 Cq1 D
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
3. 实例分析
0
0 c
已知：
0、l、F
A B l
C
求：
l
lC
q0
方法一：
q A qB
qC
C、RC
q0 i 0 2 z=0 处： A处：q A q0 l
B处：1 qB 1 q A 1 F
2
2
1
D R1
1 2 BD
2
入射光束的光腰处： R1
lC 2 0 2 2 ll 0 2 2 2 A2 ( ) B (1 ) ( ) ( l lC C ) 2 C 2 F F 2 2 0 0 2 ( )
F 2 (F l ) F 2 (l F ) F l l F 2 2 (F l ) f ( F l )2 f 2 2 2 F 0 2 0 ( F l )2 f 2
1. F 一定时， 0与 l 随
l 的变化情况
f
（共焦参量）
f ）与腰位置 z
( z )
0 R( z ) z
3. 高斯光束的 q 参数
x2 y2 0 x2 y2 u00 ( x , y , z ) c exp 2 exp i k ( z ) ( z ) (z) (z) 2 R( z )
2
F 2 (F l )
0 2 ( F l )2 ( )
2
F l 2 f 0 F l 2 f 0 (F l )(F l ) F 2 f f
o2 o 2 其中：f ，f
几何光学中牛顿公式:
2 2
0
r (z) r
( z ) 0
( z ) 随z以双曲线函数变化
2 L 0 双曲线顶点坐为 0 ，共焦参数 f 2 光能主要分布在双锥体内
2. 波面曲率半径
光波面
(z)
F
0
f 2 R( z ) z 1 z z
q C处： C qB lC
1 1 Re RC qC 1 1 2 Im q C C
方法二：
Aq1 B q2 Cq1 D
D C (C 1 q1 B q2 A (A q1
2
D i D ) R1 1 2 B i B ) R1 1 2
x2 y2 x2 y2 z2 z 2R
3. 高斯光束
激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波， 而是一种比较特殊的高斯球面波。
A0 ( x2 y2 ) x2 y2 E ( x, y, z ) exp[ ] exp ik[ z ] i ( z ) 2 (z) (z) 2 R( z )
高阶模激光束的场分布不同于基模，但传输与变换规律和 基模高斯光束相同，称为高阶模高斯光束。 非稳腔输出的基模光束经准直后在远场的强度分布也接近 高斯型。 高斯光束是可能存在的各种激光模式的总称。
4.1 高斯光束的基本性质
4.1.1 高斯光束的特点 1. 均匀平面波 沿某方向（如z轴）传播的均匀平面波（即均匀的平行光 束），其电矢量为：
A0 exp( ikr ) R
x 2 y 2 z 2 ，光源到点 ( x , y , z ) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在 这个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。
近轴（ x, y z ，z R ）：
r
A0 x2 y2 E ( x, y, z ) exp[ ik ( z )] R 2R
总结:
光波面
基模高斯光束特点
(z)
F
0
0
F
B 0
z
高斯光束 非均匀球面波
等相位面为球面； 曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
幅度非均匀的变曲率中心的球面波。
4.1.3 高斯光束的特征参数
( z ) 0
z 1 f
特例：求 l 、0 （变换后的焦斑大小和焦斑距离）
0
0 c
变换前后的束腰大小关系
A B l
l
lC
C
R1 R2
0 2 02
D C f0
2 2
2
q0
F 2 0 2
q A qB
qC
变换前后的束腰位置关系
F l
0 2 ( F l )2 ( )
x2 y2 1 0 i u00 ( x , y , z ) c exp { ik z ( 2 ) i (z) (z) 2 R(z) k ( z )
1 1 i q(z) R(z) 2 (z)
0
q( z )复曲率半径
E ( x , y , z ) A0e
ikz
k 2 ，波数
特点：在与光束传播方向垂直的平面上光强是均匀的。
2. 均匀球面波
由某一点光源（位于坐标原点）向外发射的均匀球面光 波，其电矢量为：
E ( x, y, z )
R
A0 x2 y2 z2
exp[ ik x 2 y 2 z 2 ]
x2 y 2 u 00 ( x , y , z ) c exp i k (z ) (z) (z) 2q(z)
均匀球面波：
u0 x2 y2 u( x , y , z ) exp i k ( z ) 0 R 2R