2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析

2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷2020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷(详解)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.【答案】【解析】设集合，，则．，．2.【答案】【解析】设，为虚数单位，则 ．．3.【答案】【解析】为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从名（含甲、乙两人）随机选名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ．．故答案为：．4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【解析】这是一个执行语句，令为，通过计数，等于原来的的值加上的两倍，从开始起，每次间隔，到结束，所以的取值为，，．，，；，；，．故答案输出的为，是．5.【答案】【解析】如图是一次摄影大赛上位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为 ．田茎叶图可知，分数分别为：、、、、、、，去掉一个最高分和最低分后，剩余分数为：、、、、，则平均分为：．故答案为：．6.【答案】【解析】已知函数,的最小正周期为，且它的图象过点，则的值为 ．由最小正周期为，，可得，，由过可得，由可得，则，因此．7.【答案】【解析】若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则 ．的焦点为，由于的焦点是的一个焦点，则，（舍），，∴．故答案为：．8.【答案】【解析】已知为锐角，若，则 ．，，，由于为锐角，∴，，∴．9.【答案】【解析】等差数列的前项和为，若，，其中，则 .由于为等差数列，则，∵，∴，∴．10.【答案】【解析】已知正实数，满足，则的最小值为 ．由，得，∴，∵，都是正实数，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．11.【答案】方法一：【解析】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．图;半正多面体面数从上至下依次为，，，，，故共有个面．半正多面体的所有顶点都在同一个正方体表面上，如图，图该正方体被半正多面体顶点，，所在平面截得的图形如图，2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷方法二：图八边形为正八边形．设，则解得，即该半正多面体的棱长为．利用欧拉公式：，，，所以面数．12.【答案】【解析】由圆：外一点引直线交圆于、两点，则线段中点到轴的距离的最小值为 ．设，，，则，，∵点，在圆：上，∴，，两式相减得，∴，即，∴，即，又，∴，化简得：，即，则点在以为圆心，为半径的圆上，则点到轴的距离的最小值为．2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷故答案为：．13.【答案】【解析】中，，点，分别为的外心、重心，若，则面积的最大值为 ．设三角形三条边，，依次为，，，外接圆半径设为，则，，同理，由正弦定理得：，即，，∴，，∵是的重心，∴，∴，又，且，∴．将代入上式化简得：，∴，当且仅当时，等号成立．，2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷∴，的面积，∴面积的最大值为．14.【答案】【解析】设是定义在上的偶函数，当时，，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．当时，，，当，，当时，，∴在上单增，上单减，，解得或，如图可知，有个不同的实数根，∴①无解，舍，②解得．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在中，角的对边分别是，已知向量，，且．求的值；若，的面积，求的值．∵，∴，由正弦定理，得，化简，得，∵，∴．又∵，∴，∴．∵，，∴．∵，∴．①∵，由余弦定理得，∴，②由①②，得，从而，（负舍），所以，∴．16.（1）（2）（1）【答案】在直三棱柱中，，，是的中点．求证：平面．若点在线段上，且，求证：平面．详见解析．（1）（2）【解析】连结，设交于点，连结．∵四边形是矩形，∴是的中点．在中，分别是，的中点，∴．又∵平面，平面，∴平面．∵，是的中点，∴．又∵在直三棱柱中，底面侧面，交线为，平面，∴平面．∵平面，∴．∵，，，∴，∴∽，从而，所以，∴．又∵，平面，平面，∴平面．17.【答案】【解析】苏州园博园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于的围墙，现有两种方案：方案①：如图所示，多边形为直角三角形，其中；方案②：如图所示，多边形为等腰梯形，其中．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图图，，方案②．设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为，，（当且仅当时，“”成立）；方案②设，则，，由得，（舍去），因为，所以，列表：极大值所以当时，，因为，所以建苗圃时用方案②，且,答：方案①，②苗圃的最大面积分别为，，建苗圃时用方案②，且．18.（1）12（2）（1）12（2）【答案】（1）1（2）【解析】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．求椭圆的标准方程．过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．求证：是直角三角形．求面积的最大值．．证明见解析．．．设直线的斜率为，则其方程为，由，得，2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷2记，则，，．于是直线的斜率为，方程为．由，得．①设，则和是方程①的解，故，由此得，从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．由①得，，所以的面积：．设，则由，得，当且仅当时取等号，因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为．因此，面积的最大值为．19.（1）12（2）（1）1（2）【答案】设函数．求函数的单调区间．已知函数有两个极值点，．比较与的大小．若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围．当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的单调增区间为和，减区间为．．2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷2（1）12（2）【解析】．，当时，，所以的单调增区间为，无减区间，当时，令，得或，所以的单调增区间为和，减区间为，综上：当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的单调增区间为和，减区间为．因为的两个极值点，，由（）知，当时，，，且，，则，，因此，所以，因为在，上单调递增，在上递减，所以，，由于即．因为函数在区间上有且只有一个零点，所以在区间上只有唯一的最大值，故由，（由①知不成立，故舍去）或（即），由，解得，代入，得，2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷由，得，所以．20.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】数列的首项，前项和为，若数列满足：对任意正整数,，当时，总成立，则称数列是“数列”．若是公比为的等比数列，试判断是否为“”数列?若是公差为的等差数列，且是“数列”，求实数的值．若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列．不是．．证明见解析．因为，所以，假设是数列，则当时，则成立，但时，，，，所以假设不成立，不是数列．设的公差为，则，因为是“数列”，则，即，所以，即．数列既是“数列”，又是“数列”，所以，②①得：，④③得：，又③①得：，④②得：，所以成等差数列，设公差为，成等差数列，设公差为，因此，，所以对恒成立，①②③④2020/5/282020年江苏苏州吴江市吴江高级中学高三下学期高考模拟文科数学试卷即成等差数列．。

2020年江苏省高考数学模拟试卷(2月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A ={2,4，5，7}，B ={3,4，5，6，8}，则(∁U A)∩B = ______ ．2. 已知b ∈R ，若(2+bi)(1−i)为纯虚数，则|1+bi|=______．3. 设函数f(x)={x 2+3x,x ≥0,f(x +2),x <0,则f(−3)=________． 4. 已知a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5. 函数f(x)=√2+x +√1−x 的定义域为______ ．6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是____．7. 已知函数y =x 3−x 2−x +5，该函数在区间[0,3]上的最大值是______ ．8. 椭圆y 216+x 29=1的焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上不同于长轴端点的一点，则△PF 1F 2的周长为______ ． 9. 设P 、A 、B 、C 为球面上的四个点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，若PA =2、PB =3、PC =4，则这个球的表面积为 ．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b a +c a =2(cos 2B 2−sin 2C2)，若bc =4，则当△ABC 的周长取最小值时，其外接圆的面积为________．11. 已知函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，若f(f(α))=1，则实数a 的值为______ ．12. 在直角梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，B =60°，AD =√3，E 为CD 的中点．若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则λ=________．13. 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n则其中：(I)L 3= ______ ；(Ⅱ)L n = ______ ．14. 已知函数f (x )={x+1x 2,x <−1ln(x +2),x ≥−1g (x )=x 2−2x −4.设b 为实数，若存在实数a ，使得f (a )+g (b )=1成立，则b 的取值范围为_____．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinx,1−√3cosx)，n ⃗ =(1−sinx,cosx)，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +√3．(Ⅰ)求函数f(x)的零点；(Ⅱ)若f(α)=85，且α∈(π2,π)，求cosα的值．16. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，AP ⊥CD ，AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．求证：(1)AP//平面BEF；(2)平面BEF⊥平面PAC．17.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾(其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上)，并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．(1)求水渠MN长度的最小值；(2)求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值(水渠宽度忽略不计)．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过E(1,32)，且离心率为e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，D点坐标为(4,3)，求直线DA，DB的斜率之和．19.已知函数f(x)=ln x−ax+a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(0,1)上的最大值是a −3，求a 的值．20. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)a n +2n (n ∈N +). (1)设b n =2na n ，求数列{b n }的通项公式b n ； (2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．21. 已知矩阵M =[1−1−11]，N =[2202]，求MN −1．22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．23. 某工厂在两个车间A ，B 内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品．(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；(2)若从车间A ，B 选取的产品中随机抽取2个产品，用X 表示车间B 内产品的个数，求X 的分布列与数学期望．24. 设函数f(x)=(1−mx)ln(1+x)．(Ⅰ)若当0<x <1时，函数f(x)的图像恒在直线y =x 上方，求实数m 的取值范围；)1000.4．(Ⅱ)求证：e>(10011000【答案与解析】1.答案：{3,6，8}解析：解：∵集合U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2,4，5，7}，∴C U A={1,3，6，8，9}，∵B={3,4，5，6，8}，∴(∁U A)∩B={3,6，8}．故答案为{3,6，8}．由集合U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2,4，5，7}，知C U A，再由B，能求出(∁U A)∩B．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．2.答案：√5解析：解：∵(2+bi)(1−i)=(2+b)+(b−2)i为纯虚数，∴{2+b=0b−2≠0，即b=−2．∴|1+bi|=|1−2i|=√5．故答案为：√5．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得b值，则|1+bi|可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：4解析：本题考查函数值的求法，是基础题.直接求解即可．解：f(−3)=f(−1)=f(1)=12+3=4．故答案为4．4.答案：1解析：本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．解：a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：[−2,1]解析：解：要使函数有意义，则{2+x ≥01−x ≥0得{x ≥−2x ≤1， 即−2≤x ≤1，即函数的定义域为[−2,1]，故答案为：[−2,1]根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：13解析：试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23=13 考点：相互独立事件的概率乘法公式 7.答案：20解析：解：求导数可得y′=3x 2−2x −1=(x −1)(3x +1)∴函数在[0,1)上，y′<0，函数单调递减，在(1,3]上，y′>0，函数单调递增，∴函数在x =1处取得最小值4，∵x =0时，y =5；x =3时，y =20∴在x =3处取得最大值20，故答案为：20．求导数，确定函数在区间[0,3]上的单调性，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键．8.答案：8+2√7解析：解：由椭圆y216+x29=1，可得a=4，b=3，c=√a2−b2=√7△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×4+2×√7=8+2√7．故答案为：8+2√7．利用△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：解析：本题考查球的表面积公式.根据题意：可知三棱锥P−ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，求出长方体的体对角线，即可求出结果．解：如图所示：根据题意：可知三棱锥P−ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，∵PA=2、PB=3、PC=4，∴长方体的对角线为√PA2+PB2+PC2=√22+32+42=√29，即外接球的直径2R=√29，∴R=√292，∴球O的表面积．故答案为．10.答案：2π解析：本题主要考查解三角形的实际应用，属于一般题． 解析：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且，若Bbc =4，则C △ABC min =b +a +a ≥2√bc +a 则其外接圆最小面积为2π 故答案为2π．11.答案：1，或log 25解析：解：∵函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，若f(f(α))=1，则f(α)=2， 则α=1，或α=log 25， 故答案为：1，或log 25由已知中函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，结合f(f(α))=1，分类讨论，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，分类讨论思想，难度中档．12.答案：32解析：本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查线段中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设CD =2a (a >0)，因为E 为CD 的中点．所以DE =a ，因为B =60°，AD =√3，所以过C 点作CF ⊥AB 于F 则有BF =1,CF =√3， 所以C(2a,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,√3)，B (2a +1,0),E(a,√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,√3); 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，所以2a (−a −1)+3=−1，所以a =1，所以AB =3,DC =2，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，所以λ=32； 故答案为32．13.答案：a 1+a 2+a 3；a 1+a 2+a 3+⋯+a n解析：解：根据题意，由于利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式： a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n ，当n =2时，则a 1b 1+a 2b 2=a 1(b 1−b 2)+L 2b 2， ∴L 2=a 1+a 2，当n =3时，则a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3b 3， ∴L 3=a 1+a 2+a 3，而对于该结论加以推广可知，L n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ． 故答案为：a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+⋯+a n ．根据a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n ，分别取n =2，3求出L 2，L 3，找出规律，从而求出L n ．本题主要是考查了数列的规律性的运用，根据前几项的规律归纳出第n 项的规律，同时考查了推理的能力，属于中档题．14.答案：[−32,72]解析：本题考查了函数解析式，存在性命题成立的条件应用.根据题意，得到g(b)=b 2−2b <3，解得到结果．解：当x <−1时，f(x)=x+1x 2=1x +1x 2=(1x +12)2−14≥−14;当x ≥−1时，，，∵f(a)+g(b)=1，∴1−g(b)=1−b2+2b+4>−14，∴解得−32<b<72．故答案为[−32,72 ]．15.答案：解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+√3=√3sinx−√3sin2x+cosx−√3cos2x+√3=√3sinx+ cosx=2sin(x+π6)，由f(x)=0，得x+π6=kπ(k∈Z)，所以x=kπ−π6(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x=kπ−π6(k∈Z).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(α)=2sin(α+π6)=85，且α∈(π2,π)，所以sin(α+π6)=45，所以2π3<α+π6<7π6，则cos(α+π6)=−35，所以cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=−35×√32+45×12=4−3√310.解析：本题考查了向量的数量积运算以及函数的零点、三角函数的恒等变形求三角函数值，较综合，但是比较典型．(Ⅰ)利用数量积运算得到函数解析式并等价变形，得到最简解析式，求零点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(α)，与角度范围得到(α+π6)的正弦和余弦值，利用角的等价变形得到所求．16.答案：证明：(1)设AC与BE的交点为O，因为AE//BC，AE=BC，所以ABCE为平行四边形，所以O为AC的中点，所以OF//PA，OF⊂平面BEF，PA不在平面内，所以AP//平面BEF；(2)BCDE为平行四边形，所以CD//BE，PA⊥CD，所以PA⊥BE，又在平行四边形ABCE中，AB=BC，所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE，AC∩PA=A，所以BE⊥平面PAC，BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC．解析：(1)由三角形中位线的性质，得到OF//PA，再由线面平行的判定定理证得AP//平面BEF；(2)证明PA⊥BE，AC⊥BE，再由线面垂直的判定定理证得BE⊥平面PAC，即可证得平面BEF⊥平面PAC．17.答案：解：(1)以圆心O为原点，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1，设点，，直线AC的方程为，令x=0，得，直线BC的方程为，令y=0，得，，令，即，则，，令f′(θ)=0，得，当时，f′(θ)<0,则f(θ)单调递减；当时，f′(θ)>0，则f(θ)单调递增；∴当时，f(θ)min=6−4√2，∴MN min=2−√2，∴水渠MN长度的最小值为2−√2百米;(2)由(1)可知，，则，设，，,−√2≤t<−1，∴−√2≤t<−1，∴S△CMN=−t+12∴当t=−√2时，(S△CMN)max=√2−1，2∴区域MNC 面积的最大值为√2−12平方百米．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，考查了实际问题方面的应用，属于较难题．(1)先以圆心O 为原点，建立平面直角坐标系，然后可设点，，再求出直线AC ，BC 的方程，得到M ，N 点的坐标，即可得到MN 关于θ的式子， 再利用导数研究单调性进而求最值，最后即可得到答案； (2)由(1)可知M ，N 点的坐标，可知，再设，由θ的范围即可求出S △CMN 的最大值．18.答案：解：(1)由已知得1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2解之得，a =2，b =√3，c =1 所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由(1)得F(1,0)，设直线l 的方程为y =k(x −1)与椭圆联立得{x 24+y 23=1y =kx −k ，消去x 得(32+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3所以k DA +k DB =y 1−3x 1−4+y 2−3x 2−4=kx 1−k−3x 1−4+kx 2−k−3x 2−4=2k +3k−3x1−4+3k−3x 2−4=2k +(3k −3)x 1+x 2−8x1x 2−4(x 1+x 2)+16=2k +3(k−1)(−24k 2−24)36k 2+36=2，当直线l 斜率不存在时，A(1,−32)，B(1,32)，k DA +k DB =2， 所以DA ，DB 的斜率之和为2．解析：(1)由题意可得1a 2+94b 2=1,ca =12,a 2=b 2+c 2，解得即可，(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组，根据韦达定理和斜率公式化简整理可得k DA +k DB =2． 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求，转化思想的应用．19.答案：解：(1)f ′(x)=1x −a =1−ax x(x >0)．当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a ,+∞)． (2)由(1)知，若f(x)在(0,1)上存在最大值，则a >0，且0<1a <1，即a >1． 由(1)知f(x)的最大值为，得，a =e 2>1，符合题意．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及导数法求函数在闭区间上的最值，属于中档题． (1)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性；(2)对a 分类讨论，根据函数的单调性，来确定函数的最大值，进而求出a 的值．20.答案：解：(Ⅰ)∵a n+1=2n+1a n(n+12)an +2n，∴an+12n+1=a n (n+12)a n +2n，即2n+1a n+1=2n a n +n +12，∴2n+1a n+1−2n a n=n +12，即b n+1−b n =n +12， ∴b 2−b 1=1+12，b 3−b 2=2+12， …b n −b n−1=n −1+12，累加得b n −b 1=1+2+⋯+(n −1)+n−12=n(n−1)2+n−12=n 2−12，∵b 1=2a 1=22=1，∴b n =n 2−12+1=n 2+12．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知a n =2nb n =2n+1n 2+1，∴a n+1=2n+2(n+1)2+1， ∴c n =1n(n+1)a n+1=12⋅n 2+2n+2n(n+1)⋅2n+1=12[n 2+n n(n+1)⋅2n+1+n+2n(n+1)⋅2n+1]=12[12n+1+1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1]，∴S n =12(122+⋅⋅⋅+12n+1)+12[(11⋅2−12⋅22)+(12⋅22−13⋅23)+⋅⋅⋅+(1n⋅2n −1(n+1)⋅2n+1)] =12⋅122(1−12n )1−12+12[12−1(n+1)⋅2n+1)]=12[1−(12)n+1⋅n+2n+1]．解析：(1)根据条件先求出a n 的表达式，然后求出b n =2na n，即可求数列{b n }的通项公式b n ；(2)求出c n 的表达式，然后利用等比数列的求和公式进行求和．本题主要考查了数列的通项公式和数列和的计算，运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力． 21.答案： 解：设N −1=[a b cd]，则[a b cd ][2202]=[1001]， 所以解得{a =12,b =−12,c =0d =12,即N −1=[12−120−12]，所以MN−1=[1−1−11][12−1212]=[12−1−121]．解析：本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查考生的运算求解能力． 先求出矩阵N 的逆矩阵，再求矩阵的相乘．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．把{x =m −12ty =√32t代入x 2+(y −1)2=1，并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√33<m <√3．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√152， 解之得m =√32或√36；(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)由茎叶图知，车间A 内合格的产品数为4，车间B 内合格的产品数为2，则所求概率P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584．(2)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2． 则P(X =0)=C 82C 122=1433，P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X =2)=C 42C 122=111， 所以X 的分布列为：所以E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：本题考查茎叶图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． (1)利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率．(2)求出X的所有可能取值为0，1，2.得到分布列，然后求解期望即可．24.答案：解：(1)令F(x)=f(x)−x=(1−mx)ln(1+x)−x，则F′(x)=−mln(1+x)+1−mx1+x −1，x∈(0,1)，令ℎ(x)=−mln(1+x)+1−mx1+x−1ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2，①当m≤−12时，由于x∈(0,1)，有ℎ′(x)≥0，于是F′(x)在x∈(0,1)上单调递增，从而F′(x)>F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,1)上单调递增，即F(x)>0；②当m≥0时，由于x∈(0,1)，有ℎ′(x)<0，于是F′(x)在x∈(0,1)上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,1)上单调递减，即F(x)<F(0)=0不符；③当−12<m<0时，令x0=min{1,−2m+1m}，当x∈(0,x0]时，ℎ′(x)<0，于是F′(x)在x∈(0,x0]上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,x0]上单调递减，即F(x)<F(0)=0而且仅有F(0)=0不符．综上可知，所求实数m的取值范围是(−∞,−12]．证明：(2)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式(1+1n)n+25<e恒成立，等价变形(1+25n )ln(1+1n)−1n<0相当于(2)中m=−25，x0=12的情形，F(x)在x∈(0,12]上单调递减，即F(x)<F(0)=0；取x=1n (n≥2)，都有(1+25n)ln(1+1n)−1n<0成立；令n=1000得证．解析：(1)令F(x)=f(x)−x=(1−mx)ln(1+x)−x，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而确定m的范围即可；(2)问题等价变形(1+25n )ln(1+1n)−1n<0，取x=1n(n≥2)，都有(1+25n)ln(1+1n)−1n<0成立；取n=1000即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。

国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之
Y 输出 a
理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图 的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中
结束 （第 5 题图）
白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则
其差的绝对值为 5 的概率为 ▲ ． 7．已知{an} 为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a2 5 2a5 ，则 S15
A1
C1
B1 F
A
C
E
B （第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分） 如图，已知边长为 2 的正方形材料 ABCD ,截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一 个正四棱锥的封闭容器．设 FCB ． （1）用 表示此容器的体积， （2）当此容器的体积最大时，求 tan 的值．
（第 17 题图）
若 BC 2 ，则 sin B sin C 的取值范围是 ▲ ． sin A
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分） 在 △ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 B ． 3
5． 1 3
6． 1 5
7． 75
8．100
1 9．
4
10． 4
11． 2 2
12．[1 5 ，1 5]
13．[2 e ，+ ) 14． ( 6 ， ) 5
解答与提示：
1．由交集定义可知 A B {2 ，3} ．
2． z ai b 2 i ，所以 a 1，b 2 ，所以 ab 2 ．

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷06数学试题I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x|x 2＋x≤0}，则M∩N ＝____________．答案：{－1，0}解析：由N ＝{x|－1≤x≤0}，M ＝{－1，0，1}，得M∩N ＝{－1，0}．2.命题“∃x ＞1，使得x 2≥2”的否定是“____________”．答案：∀x ＞1，使得x 2＜2解析：本题主要考查特称命题的否定是全称命题．3.已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z.若2z ＝z ＋2－3i ，则z ＝____________．答案：2－i解析：设z ＝a ＋bi ，由已知条件，得2a ＋2bi ＝a ＋2－(b ＋3)i ，则2a ＝a ＋2，2b ＝－(b ＋3)，则a ＝2，b ＝－1，则z ＝2－i.4.现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为________．答案：13解析：4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，有(A ＋B ，C ＋D)，(A ＋C ，B ＋D)，(A ＋D ，B ＋C)，(C ＋D ，A ＋B)，(B ＋D ，A ＋C)，(B ＋C ，A ＋D)共6个基本事件，A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车共有(A ＋B ，C ＋D)，(C ＋D ，A ＋B)2个基本事件，则所求事件的概率为13.5.曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程是____________．答案：y ＝x ＋1解析：k ＝y′＝e 0＝1，切点坐标为(0，1)，则切线方程为y ＝x ＋1.6.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是__________．答案：30解析：这列数的第一项是3，第二项是6，第三项是30.7.定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(0)＋f(－1)＝______________．答案：－1解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＋f(－1)＝0－1＝－1.8.已知等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，则d 的值为____________．答案:±2解析：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数为a 3，而a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，由方差公式，得4d 2＋d 2＋d 2＋4d 2＝40，d 2＝4，则d ＝±2.9.如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________cm 3.(第9题)答案：3解析：三棱锥AB 1D 1D 的体积＝13×322×12×2×32＝3(cm 3)．10.已知αβcos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝__________．答案：－4＋62解析：由αcos α＝13，得sin α＝223.又βαsin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－4＋6215.11.已知函数f(x)x ＞1，，－1≤x≤1.若关于x 的方程f(x)＝k(x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是__________．解析：方程f(x)＝k(x ＋1)有两个不同的实数根，说明y ＝k(x ＋1)与y ＝f(x)的图象有两个交点，画出函数f(x)的图象，y ＝k(x ＋1)是过(－1，0)的动直线，可得k 12.圆心在抛物线y ＝1x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为____________．答案：(x±1)2＝1解析：抛物线2y ＝x 2，则该抛物线的准线方程为y ＝－12.设圆心坐标为(a ，b)＝b ＋12，2＝2b ，解＝±1，＝12，则圆的半径r ＝1，圆的标准方程为(x±1)2＝1.13.已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是____________．解析：点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，，＋n<1，作出可行域，可知点E(2，2)到可行域的最小距离为32，最大距离为22，则(m －2)2＋(n －2)214.已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数的a 值是____________．答案：－2解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋214＝34，当且仅当a ＝－2，b ＝4时等号成立．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bcos C ＋ccos B ＝2acos A.(1)求A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解：(1)(解法1)在△ABC 中，由正弦定理及bcos C ＋ccos B ＝2acos A ，得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝2sin Acos A ，(3分)即sin A ＝2sin Acos A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A ＝12，(6分)所以A ＝π3.(8分)(解法2)在△ABC 中，由余弦定理及bcos C ＋ccos B ＝2acos A ，得b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a·b 2＋c 2－a 22bc ，(3分)所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(6分)因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(8分)(2)由AB →·AC →＝cbcos A ＝3，得bc ＝23，(11分)所以△ABC 的面积为S ＝12bcsin A ＝12×23sin 60°＝32.(14分)16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面PAD ；(2)EF ⊥平面PDC.证明：(1)连结AC ，因为正方形ABCD 中，F 是BD 的中点，则F 是AC 的中点．又E 是PC 的中点，所以在△CPA 中，EF ∥PA.(3分)因为PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.(6分)(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD.(8分)又PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA.因为EF ∥PA ，所以EF ⊥CD.(10分)又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD.又EF ∥PA ，所以EF ⊥PD.(13分)而CD∩PD ＝D ，所以EF ⊥平面PDC.(14分)17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(3，1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为22，点Q 是PF 2的延长线与椭圆的交点．(1)①求椭圆C 的标准方程；②若∠PQF 1＝π3，求QF 1·QF 2的值；(2)直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．解：(1)①由条件，点P(3，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，△PF 1F 2的面积为22，得9a 2＋1b 2＝1，c ＝2 2.(2分)又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(4分)②当∠PQF 1＝π3时，QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－QF 1·QF 2＝（2c ）2＝32，(6分)所以QF 1·QF 2＝163.(8分)A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0.(10分)x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.(12分)因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120＞0，满足条件．因此k ＝± 6.(14分)18.(本小题满分16分)如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20m ，广场的一角是半径为16m 的扇形BCE 绿化区域．为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M 在线段AD 上(不与端点重合)，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1)试将W 表示为θ的函数W(θ)，并写出cos θ的取值范围；(2)如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．解：(1)过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G.在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ.在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意得CN ︵＝π2－θ(6分)因此，W(θ)＝2a·20－16cos θsin θ＋(7分)cos θ分)(2)W′(θ)＝－16a ＋8a·4－5cos θsin 2θ＝8a·（2cos θ－1）（cos θ－2）sin 2θ.令W′(θ)＝0，得cos θ＝12，设锐角θ1满足cos θ1＝45，θ1因为θ1θ＝π3，(12分)当θ1W′(θ)＜0，W(θ)单调递减；当θW′(θ)＞0，W(θ)分所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为163，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝43m 时，能使总造价最小．(16分)19.(本小题满分16分)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1.(1)求证：数列{a n ＋n}为等比数列；(2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n .若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．(1)证明：∵a n ＋1＝3a n ＋2n －1，∴a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n)．又a 1＝2，∴a n ＞0，a n ＋n ＞0，故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，∴{a n ＋n}是以3为首项，公比为3的等比数列．(4分)(2)解：由(1)知a n ＋n ＝3n ，∴b n ＝3n －nλ.(6分)∴T n ＝31＋32＋…＋3n －(1＋2＋3＋…＋n)λ＝32(3n －1)－n （n ＋1）2λ.(8分)若T 3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *有32(3n －1)－n （n ＋1）2λ≥39－6λ恒成立，即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．(10分)1°当n ＝1时，有T 1≥T 3⇒λ≥365；2°当n ＝2时，有T 2≥T 3⇒λ≥9；(12分)3°当n≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立，∴λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n≥4恒成立．令f(n)＝3n ＋1－81n 2＋n －12，则f(n ＋1)－f(n)＝3n ＋1（2n 2－26）＋162（n ＋1）（n 2＋3n －10）（n 2＋n －12）＞0对∀n≥4恒成立，∴f(n)＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n≥4时为单调递增数列．∴λ≤f(4)，即λ≤814.(15分)综上，9≤λ≤814，即λ的取值范围为9，814.(16分)20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x －ln x ，g(x)＝x 2－ax.(1)求函数f(x)在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m(t)；(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x 1，h(x 1))，B(x 2，h(x 2))(x 1≠x 2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2＞1，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈(0，1]，使f(x)≥a －g （x ）x 成立，求实数a 的最大值.解：(1)f′(x)＝1－1x，令f′(x)＝0，得x ＝1.当t≥1时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t －ln t ；(1分)当0＜t ＜1时，f(x)在区间(t ，1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.综上，当0＜t ＜1时，m(t)＝1；当t≥1时，m(t)＝t －ln t ．(3分)(2)h(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋ln x ，对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨取x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，则由h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2＞1，可得h(x 1)－h(x 2)＜x 1－x 2，变形得h(x 1)－x 1＜h(x 2)－x 2恒成立．(5分)令F(x)＝h(x)－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x ，则F(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x －(a ＋2)＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，(7分)∴2x ＋1x ≥a ＋2在(0，＋∞)上恒成立．∵2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴a≤22－2，即a 的取值范围为(－∞，22－2]．(10分)(3)∵f(x)≥a －g （x ）x ，∴a(x ＋1)≤2x 2－xln x.∵x ∈(0，1]，∴x ＋1∈(1，2]，∴存在x ∈(0，1]，使得a≤2x 2－xln x x ＋1成立．令t(x)＝2x 2－xln x x ＋1，则t′(x)＝2x 2＋3x －ln x －1（x ＋1）2.(12分)令y ＝2x 2＋3x －ln x －1，则由y′＝（x ＋1）（4x －1）x ＝0可得x ＝14或x ＝－1(舍)．当x ＜0，则y ＝2x 2＋3x －ln x －1当x y′＞0，则y ＝2x 2＋3x －ln x －1∴y ＞ln 4－18＞0，∴t′(x)＞0在x ∈(0，1]上恒成立．∴t(x)在(0，1]上单调递增．∴a≤t(1)，即a≤1.(15分)∴实数a 的最大值为1.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A ＝2－21－3，B ＝100－1，设M ＝AB .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)M ＝AB ＝2－21－3100－1＝2213.(5分)(2)矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝|λ－2－2－1λ－3|＝(λ－2)(λ－3)－2.令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4.(10分)B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为m.若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．解：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x.即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆．(3分)直线l 的极坐标方程是m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0.(6分)因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m|2＝1，解得m ＝－12或m ＝32.所以，所求实数m 的值为－12或32.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式：|x －1|＋2|x|≤4x.解：原不等式等价于，x －2x≤4x ＜x≤1，－x＋2x≤4x ＞1，－1＋2x≤4x.(6分)，－x ＋2x≤4x ，得x ∈∅；＜x≤1，－x ＋2x≤4x ，得13≤x≤1；＞1，－1＋2x≤4x ，得x ＞1.所以原不等式的解集为13，＋分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，使得二面角FDEB 的正弦值为33，求PF PB的值．解：(1)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E(0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因为异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(4分)(2)由(1)可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，·DF →＝0，·DE →＝0，1＋λy 1＋（1－λ）z 1＝0，1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量．(6分)设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，·DB →＝0，·DE →＝0，2＋2y 2＝0，2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量．(8分)因为二面角FDEB 的正弦值为33，所以二面角FDEB 的余弦值为63，即|cos 〈m ，n 〉|＝63，所以|m·n||m|·|n|＝63，|4λ－1|3·（2λ－1）2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12.(10分)23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．解：(1)设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25；P(A 2)＝3×1×2＝2；P(A 3)×25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.答：甲获胜的概率为62125.(4分)(2)X 所有可能取的值为1，2，3.则P(X ＝1)＝25＋35×23＝45；P(X ＝2)＝2＋3×1×35×23＝425；P(X ＝3)×1＝125.即X 的概率分布列为X 123P45425125(8分)所以X 的数学期望E(X)＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.(10分)。