考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题二 第二讲

第二讲不等式

１．不等式的基本性质

（１）对称性：a>b⇔b

（２）传递性：a>b，b>c⇒a>c.

（３）加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.

（４）乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.

a>b，c<0⇒ac

（５）同向不等式可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

（7）乘方法则：a>b>0⇒a n>b n（n∈N，n≥１）．

（8）开方法则：a>b>0⇒错误!>错误!（n∈N，n≥２）．

２．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式ax２＋bx＋c>0（a≠0）或ax２＋bx＋c<0（a≠0），可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：

判别式

Δ＝b２—４ac

Δ>0Δ＝0Δ<0

二次函数

y＝ax２＋bx＋c（a>0）的

图象

一元二次方程

ax２＋bx＋c＝0（a>0）

的根

有两相异实根

x１，x２（x１

２）

有两相等实根

x１＝x２＝—

错误!

没有实数根

不等式ax２＋bx＋c>0（a>0）{x|x>x２或x

１}

{x|x∈R

且x≠—错误!}

R

的解集

不等式ax２＋bx＋c<0

（a>0）

的解集

{x|x１< x

３．

利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．

４．二元一次不等式（组）和简单的线性规划

（１）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；

（２）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：１画出可行域；２根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；３求出目标函数的最大值或者最小值．

５．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

（１）恒成立问题

若不等式f（x）>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min>A；

若不等式f（x）

（２）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f（x）>A成立，则等价于在区间D上f（x）max>A；

若在区间D上存在实数x使不等式f（x）

（３）恰成立问题

若不等式f（x）>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f（x）>A的解集为D；

若不等式f（x）

１．（２0１３·安徽）已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（１0x）>0的解集为

（）Ａ．{x|x<—１或x>—lg ２}

Ｂ．{x|—１

Ｃ．{x|x>—lg ２}

Ｄ．{x|x<—lg ２}

答案D

解析由已知条件0<１0x<错误!，解得x

２．（２0１２·福建）下列不等式一定成立的是（）Ａ．lg错误!>lg x（x>0）

Ｂ．sin x＋错误!≥２（x≠kπ，k∈Z）

Ｃ．x２＋１≥２|x|（x∈R）

Ｄ．错误!>１（x∈R）

答案C

解析当x>0时，x２＋错误!≥２·x·错误!＝x，

所以lg错误!≥lg x（x>0），故选项A不正确；

当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；

由基本不等式可知，选项C正确；

当x＝0时，有错误!＝１，故选项D不正确．

３．（２0１３·浙江）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足错误!若z的最大值为１２，则实数k＝________.

答案２

解析作出可行域如图阴影部分所示：

由图可知当0≤—k<错误!时，直线y＝—kx＋z经过点M（４,４）时z最大，所以４k＋４＝１２，解得k＝２（舍去）；当—k≥错误!时，直线y＝—kx＋z经过点（0,２）时z最大，此时z的最大值为２，不合题意；当—k<0时，直线y＝—kx＋z经过点M（４,４）时z

最大，所以４k＋４＝１２，解得k＝２，符合题意．综上可知，k＝２．

４．（２0１３·湖南）已知a，b，c∈R，a＋２b＋３c＝6，则a２＋４b２＋9c２的最小值为________．答案１２

解析方法一∵（x＋y＋z）２＝x２＋y２＋z２＋２xy＋２yz＋２zx≤３（x２＋y２＋z２），

∴a２＋４b２＋9c２≥错误!（a＋２b＋３c）２＝错误!＝１２．

∴a２＋４b２＋9c２的最小值为１２．

方法二∵a＋２b＋３c＝6，

∴１×a＋１×２b＋１×３c＝6．

由柯西不等式，可得

（a２＋４b２＋9c２）（１２＋１２＋１２）≥（a＋２b＋３c）２，

即a２＋４b２＋9c２≥１２．

当且仅当错误!＝错误!＝错误!，

即a＝２，b＝１，c＝错误!时取等号．

５．（２0１３·四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x２—４x，那么，不等式f（x＋２）<５的解集是________．

答案{x|—7

解析令x<0，则—x>0，∵x≥0时，f（x）＝x２—４x，∴f（—x）＝（—x）２—４（—x）＝x２＋４x，又f（x）为偶函数，∴f（—x）＝f（x），∴x<0时，f（x）＝x２＋４x，故有f（x）＝错误!再求f（x）<５的解，由错误!得0≤x＜５；由错误!得—５

题型一不等式的解法

例１（１）不等式错误!≤0的解集为（）Ａ．错误!

Ｂ．错误!

Ｃ．错误!∪[１，＋∞）

Ｄ．错误!∪[１，＋∞）

（２）（２0１２·江苏）已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）

审题破题（１）可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；（２）已知二次不等式的解集，可以