第5讲 高斯光束

0 2
I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a
ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要 光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
5.1 均匀介质中的高斯光束
2
v E0
k
2(r
)
v E0
0
k
2(r
)
2u
(r
)
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
波动方程
2
v E0
k
2(r
v )E0
0
k 2(r) 2u (r)
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
– 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：
k
2(r
)
2u
(r
)
1
i
(r
)
当 0 代表吸收介质， 0 代表增益介质
• 远场发散角
– 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利
长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z 时高斯光束振幅减小到
最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）： – （下一页推导）
lim (z) z z 0 z0
– 包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%
0 (z)
Hm
x
2
(
z
)
H
n
2
y
(z)
H0(x) 1 H1(x) 2x H2(x) 4x2 2 H3 (x) 8x3 12x
exp
x2 y2
2 (z)
i
k(x2 y2)
k0
1 k2 r2 k0
该表达式就是类透镜介质 的折射率表达式，证明我 们考虑的k(r)表达式代表
级数 展开
2
k 0 1
k2 2k 0
r
2
n0 1
k2 2k 0
r
2
的正是在类透镜介质中的 情况。
波动方程
• 类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。
0
pwenku.baidu.com
'(
z)
i q(z)
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化 波动方程为：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
0
p
'( z )
i q(z)
1 q2
1 q
'
0
– 引入一中间函数S，使 1 S '(z) 代入上式得到
此时等相位面也是平面；
– z z0 时， R(z) 2z0 ，
f=R/2原则，此时的等相位面半径最小；
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 瑞利长度----必须牢记！！
当光束从束腰传播到 z z0 处时，光束半径 (z) 20 ，即光斑面积增大为
最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束
z 20
exp
kr 2 2(q0 z)
exp
2 0
1
r 2
( z / 20)2
2z
1
ikr 2
( z / 20
)2
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 人为定义以下参数：
2( z )
2 0
1
z 20
2
2 0
1
z2
z
2 0
R(z)
z
1
20 z
2r
2
1 q(z)
2kp
'
kk
2r
2
0
该方程对不同r都成立，因此r2系数为零，k项系数也为零：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
0
r 2项系数
p
'(z)
i q(z)
r 0项系数
– 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。
5.0 （继续)类透镜介质中的波动方程
• 从方麦程克为斯：韦方程u组出2E发v ， 推2导Ev出各向同性、无电荷分布介质中的波动
其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；
• 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 (x, y, z) ，
它包含了相位和振幅修正两部分。
• 该修正因子满足慢变近似： ' k, " k 2 将这些相
关假设带入波动方程可以得到：
2 2ik ' kk 2r2 0
波动方程
• 令修正因子取以下形式：
–
则其光强分布为：
I
(r)
I
0
exp
2r 2
2
A(r)
A0
exp
r2
2
– 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一
半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计
算可以得到不同孔径的功率透过率(径向和圆周分别积分，求面积公式）。
2
T P
P
0
I (r)2 rdrd
kz
(
z)
r
2
1 2(z)
ik 2R(
z)
E0
0 (z)
exp
r2 2(z)
exp
i
kz
(z)
kr2 2R(z)
经典公式---永远有用
2( z )
2 0
1
z 20
2
2 0
1
z2
z
2 0
R(z)
z
1
20 z
2
z
1
z
2 0
z2
•上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
•为什么是这个解？还有其他解吗？
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯分布：
– 在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
f (x; , )
1
2
x 2
exp
2 2
E
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
– 将上式同标准球面波的总相移表达式比较：
kz k x2 y2 ; z R 2R
– 可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：
– z=0时，R(z) ,此时的等相位面是平面；
– z 时， R(z) z ，
v E
u
v H
u
2
v E
v
Q E
v E
2
v E
t
且由3式：
t 2
Ev
v E
v
E
0
v E
1
v
E
在 综各合向上同三性式介可质以中得有到介u电 常2数Ev不随位2Ev置而(4发) 生变化， 即 0
t 2
假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：
v
v
E(x, y, z,t) Re E0(x, y, z)eit 代入(4)式
激光原理与技术·原理部分
第5讲 高斯光束---激光器基本光束
重复5.4 波动方程=数学基础+物理概念
• 类透镜介质中的波动方程---博士生考试
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：
v H
v E
v E
t v u H
v t
E 0
(1) (2) (3)
对2式求旋度：
可以假设光场的横向分布只与 r x2 y2 有关，因此波
动方程中的算符 2可以表示为：
2
2r
2 z 2
2 r2
1 r
r
2 z 2
波动方程
• 我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半
径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于 单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：
E (x, y, z)e ikz
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束基本特性
– 振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
E
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r (z)定义为该
q(z) S(z)
S' S
2
S
"S
(S S2
')2
0
– 得出 S " 0 该微分方程的解为 S az b，a、b为复常数
–则
1 a
q(z) az b
q
z
b a
z
q0
– 由p与q的关系得到
p' i i q z q0
p
i
ln
1
z q0
C1
– C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
总相位移
(x, y, z) kz (z)
kr2 2R(z)
k
z
r2 2R(
z
)
tan
1
z
2 0
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 等相位面特性
– 从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：
(x,
y,
z)
kz
(z)
kr 2 2R(z)
k
z
r2 2R(z)
tan
1
z
2 0
2
z
1
z
2 0
z2
(z)
tan
1
z 20
tan
1
z z0
z 0
20
将上述参数带入到光场的表达式， 整理可以得到光场的表达式： E(x, y, z)
(x, y, z)e ikz
E0
0 (z)
exp
i
kz
(
z)
i
kr 2 2q(z)
E0
0 (z)
exp
i
t 2
• 若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可
以得到： 2 2ik ' kk 2r2 0 • 其中 (x, y, z) 为修正因子，若假设其形式为：
E0
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
• 可得到简化的波动方程：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位
角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
2
2 r 2
1 r r
1 r2
2 z 2
• 此时波动方程的特解为：
E0
2
x
2
y
(
x,
y,
z)eikz
• 代入波动方程，分离变量后解得：
(1)
• 满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以得到 有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：
q0
i
2 0
,
2 k
• 将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：
exp
ln
1
i
z 20
1
1
( z / 20)2
exp
i
tan
1
2( z )
2 0
1
z 20
2
2 0
1
z2
z
2 0
z0
20
lim (z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
E0
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
z
p
i
ln
1
q0
C1
q
z
b a
z
q0
E0 exp
i
i
ln
1
z q0
K 2(q0
z)
r
2
(1)
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 将上述结果代入到 的表达式中有：
E0
exp
i
i
ln
1
z q0
K 2(q0
z)
r
2
处的光斑半径。
1
由
2( z)
( z )的定义可以得到：
2 0
z2
z
2 0
1
即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有
最小值 0 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
1/ e
Z
Z
E(x, y, z)
E0
0 (z)
exp
r2
2( z )
exp
相位移
i
kz
(z)
kr2 2R(z)
的瑞利长度，通常记作 f 。
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式
z
0
2 0
/
可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
(z)
tan
1
z 20
tan
1
z z0
z 0
20
E(x, y, z)
E0
0 (z)
exp
r2
2( z)
exp
i
kz
(z)
kr2 2R( z)
•该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解， 其横向依赖关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是 高阶高斯光束解。
E0
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到 的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物 理意义。
牢记波动方程--结果--后面还有用
– 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：
k q(z)
2
r
2
2i
k q(z)
k
d2 dx2
2x
2x
d
dx
2x
(
1)
2x
0
d2
dy
2
2
y
2
y
d
dy
2x
(r
1)
2x
0
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
•
其解为厄米多项式
2x
Hm
x
2
y
H
n
y
• (x, y, z) 仍为基本高斯光束解，所以总的解为
El ,m
(x,
y,
z)
E0
上式表示复数波数.
波动方程
我们考虑波数表示形式为
k 2(r )
k
2 0
k0k 2r2
的情况
其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特
性k2都有关系。
由波数的定义：k(r) 2 n(r) 可以得到n(r)的表达式：
n(r) k(r)
2
2
k
2 0
k0k 2r2
2