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课题：5.1 角的概念推广
一、教学设计思想
本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。
本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。
在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
二、学生情况与教材分析
1、学生通过初中三年的学习，已经了解了角的定义，基本上掌握了角的一些基本性质，会运用关于角的性质进行解题，因此只要简单地回顾角的一些基本知识就可引入新课；
2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于中职类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，基础比较差。因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。
3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。
三、教学目标：
⒈知识目标：
①引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广。
②理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念。
③掌握“终边相同的角”、“象限角”的表示方法。
⒉能力目标：培养学生利用运动变化的观点去发现问题、分析问题的能力，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。
⒊德育目标：通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度,通过实际问题，培养学生理论联系实际的唯物主义观点。
四、教学重点与难点：
重点：“正角”、“负角”、“零角”、“任意角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念，
难点：把“终边相同的角”用集合和符号语言正确的表示出来。
通过具体问题，让学生从不同的角度作答，理解终边相同角的概念，利用从特殊到一般的方法，归纳出终边相同角的表示方法，达到突破难点的目的。
五、教学方法：新授课
六、教具：三角板、尺子
七、课时安排：1课时
八、教学内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破
难点之目的.
九、教学过程：
（一）、复习引入：
1．复习：初中是如何定义角的？
在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的一个端点旋转而成的图形，旋转起始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
2、角的表示方法：
3、角的分类：
4．生活中很多实例的角不在范围]360,0[00
如：（1）体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º
（2）经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）
（二）、讲解新课：
1．角的概念的推广
⑴角的定义：“旋转”形成角 A
B
αO
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
⑵角的分类：“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
2100
-1500 6600
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α
说明：零角的始边和终边重合。
⑶意义
1︒ 角有正负之分 如：α=210︒ β=-150︒ γ=660︒
2︒ 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒） 3周（360︒×3=1080︒）
3︒ 还有零角 一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示
具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
2．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
(1)象限角:角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
(2)非象限角（也称象限间角、轴线角）：角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限
例如：30︒、390︒、-330︒是第Ⅰ象限角，300︒、-60︒是第Ⅳ象限角，585︒、1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等3．终边相同的角
⑴观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和：
390︒=30︒+360︒ )1(=k
-330︒=30︒-360︒ )1(-=k
30︒=30︒+0×360︒ )0(=k
1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k
-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k
⑶结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：
{}
Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和⑷注意以下四点：
(1)Z k ∈
(2) α是任意角；
(3)0360⋅k 与α之间是“+”号，
如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
（三）、讲解范例：
例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
