研究生录取的最大匹配模型
一、问题重述
研究生录取工作一般根据学生初试成绩从高到低排序之后按1:1.5的比例选择进入复试的名单，复试由专家组对学生的综合素质面试考核，最后由主管部门综合所有学生的初、复试成绩等因素确定录取名单。
现计划从15名进入复试的学生中招收10名研究生，所有复试学生的初试成绩、专业志愿、各专家对学生复试的评分，以及10名拟招收研究生的导师的基本情况等都对外公开。需解决以下问题：
(1)首先从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从15名候选研究生中筛选10名研究生的方案，然后给出一名导师配对多名学生和一名导师配对一名学生这两种情形下10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。
(2)首先从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师筛选10名研究生的新方案。然后给出一名导师配对一名学生的最佳双向选择方案。并在选中的即为确定的前提下，给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。
(3) 从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择5名导师的方案。再给出这5名导师择优筛选10名研究生的方案，以及每一名导师带２名研究生的双向选择最佳策略。
(4)设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部门参考，并说明方案的优越性。
二、模型假设
1． 在硕士研究生录取中，按目前国内大多数高校惯例假定初试和复试成绩所占比例（αα-1:）固定，取值0.7：0.3。
2． 假设模型中各部分（如成绩、导师水平各方面、导师对学生要求等）所占权重和具体水平的量化在录取工作之前已对导师、学生和社会完全公开，体现了公平、公正和公开。
3． 本模型假定，作为某学生甲，他对导师A 的满意程度，不会因为导师A 带的
学生数增加而改变。
4． 同时假定，某导师A 对学生的满意程度是相互独立，且不会因为所带学生数
多少而改变。
5． 模型假定，每一导师和学生配对产生的总合意指数是相互独立，且可以叠加。
6． 模型假定，师生双方的整体满意度用模型中的总体合意指数矩阵S 中的相应
元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找一个最大匹配，使得在约束下的),(j i S 指数和最大。
三、问题分析
题目中要求根据所给数据表格，给出各种不同的筛选方案、最佳双向选择方案以及一些配对的策略。由于所给表格中除初成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须根据比较、分散、公平、实际水平和量化数字正相关(即等级高的实际数据量化后的量化值也高) 等原则，对数据进行量化工作及标准化。量化这些数据后就可以根据这些数据统计出学生的综合水平及导师的整体评价，从而可以确定出不同的筛选方案。
对于其中的“满意度”，这是一个抽象的量，所以在此将其量化为“满意指数”，这样使得最佳双向选择方案的问题转化为关于整体满意指数最大化的问题。而如何使得师生双方配对的满意度最高，是解决问题的一个关键所在。
而题目中要求提供一些双向选择过程中的选择策略，这可以类似于一个动态规划的问题求解，为导师（或学生）提供策略，使得每一步他和某学生（或导师）之间相互选择的的机率最高。
四、符号定义
d N 、s N 、
e N ：初始时参与的导师（Director ）、学生（Student ）、专家（Expert ）
人数。在本模型中s N 取15；第（3）问中10名导师与10名学生一对
一双向选择，则10==s d N N 。
d n 、s n ：最后参加双向选择配对的导师、学生人数。
k j i ,, ：在本模型中表示学生、导师（或专家）和涉及讨论各部分各因素的
索引下标。
i E 、i E ' ：第i 个学生笔试（Examination ）的原始成绩和标准化的成绩。 ijk I ：第j 个专家对第i 个学生面试（Interview ）第k 方面的评分。其中5
~1=k 分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。
ik I 、ik
I ' ：专家组对第i 个学生面试（Interview ）第k 方面的原始评分和标准化后的评分。
I
k w ：复试面试中五个方面相对总体的权重（Weight ），10,15
1
≤≤=∑=I i i I i w w 。 α ：研究生录取工作中初试占初试复试总成绩的权重，由假设1取7.0=α。 ij M ：第i 个学生的专业发展意愿与第j 个导师专业方向的吻合度，具体取值如下：
10.50ij i j M i j i j ⎧⎪=⎨⎪⎩
学生第一志愿专业方向与导师方向一致学生第二志愿专业方向与导师方向一致学生没有申报导师的方向
则M 表示学生专业意愿与导师专业方向的吻合度矩阵（d s n n ⨯）。 j M ' ：整体学生的专业意愿和第j 个导师专业方向的吻合指数。 jk A ：第j 个导师的第k 个学术（Academic ）水平的原始指标数，其中4~1=k 分
别表示发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数。例如，123=A 表示第2个导师的编（译）著作数目为1。
jk A ' ：第j 个导师的第k 个学术水平的标准化指标数。
A ik w ：导师各学术水平指标占总体学术水平的权重。10,14
1
≤≤=∑=A ik k A ik w w 。 jk R 、jk R ' ：第j 个导师对学生专长的第k 个方面的期望要求（Requirement ），
及标准化后的期望要求，其中5~1=k 分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。R ' 表示导师对学生专长的期望要求矩阵（5⨯d n ）。 R ik w ：以第i 个学生第k 方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导
