江苏省扬州中学2016届高三上学期开学考试 数学(理) Word版含答案

江苏省扬州中学2016届高三12月月考理数试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1. 已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ．2. 如果复数()21aiz a R i+=∈+3. 如右图程序运行的结果是 ．4. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两 枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ．5. 甲､乙两个样本数据的茎叶图（如图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ．6. 已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R =+，记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ，若1319S S ==，，则2S = ．(第5题图)7. 经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点,记OAB ∆的面 积为S ,则S = ．8. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω= ．9. 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sinB＝2sinC ，则s i n2C＝ ． 10. 如右图，线段AB 的长度为2，点,A B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC OB ⋅uu u r uur的取值范围是 ．11. 已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所 有圆C 的半径之积是 ． 12. 已知函数()2f x x x =-，则不等式)()1fx f <的解集为 ．13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈L ，则集合A 中的元素个数为 ．14．实数12310082015,,,x x x x x L L ，满足1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤，如果它们的平方组 成公差721007d =的等差数列，当1223x x x x -+-++L 2014|x -2015|x 取最小值时，1008x = ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,3，点N 的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中0ω>，设()x f ⋅=（O 为坐标原点）.（Ⅰ）若2ω=，A ∠为ABC ∆的内角，当()1=A f 时，求A ∠的大小；（Ⅱ）记函数()()y f x x R =∈的值域为集合G ，不等式02<-mx x 的解集为集合P .当G P ⊆时，求实数m 的最大值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证： （Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17.（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内 和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求总量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，若区域外前4个月的需求总量为20万吨． （Ⅰ）试求出当第x 个月的石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出 后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．18.（本小题满分16分）1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l的距离为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆()()()22200:0R x x y y m m -+-=>引两条切线，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，当12k k 为定值时求m 的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于,P Q 时，试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出 其值；若不是，请说明理由．19.（本小题满分16分）设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ． （Ⅰ）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （Ⅱ）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m =+．（1）对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；（2）令()x ϕ=若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列， 且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列， 若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．附加题21.（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22.（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.23.（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的 数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设ξ为随机变量，x y ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求概率(1)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈.（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围.高考一轮复习：。

江苏省扬州中学2024届高三上学期开学摸底考试数学试卷及参考答案一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}0162<-=x x A ，{}0342>+-=x x x B ，则=B A （）A .()4,4-B .()3,1C .()()4,31,4 -D .()()4,32,1 -2.若0>x ，则22xx +的最小值为（）A .41B .21C .1D .23.函数()x x x f 2ln -=的零点所在的区间是（）A .()2,1B .()e ,2C .()3,e D .()∞+，34.若函数()ax x x f -=cos 在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A .[)∞+，1B .(]1，∞-C .[)∞+-，1D .(]1-∞-，5.函数()xx x x x f sin 2ln cos +⋅=在[)(]ππ,00, -∈x 的图象大致为（）6.若1log 2log 2222++<+b a ba ，则（）A .()012ln <+-a bB .()012ln >+-a bC .02ln >-b a D .02ln <-b a 7.已知函数()x f 的定义域为R ，且满足()()x f x f =-，()()04=-+x f x f ，且当[]2,0∈x 时，()42-=x x f ，则()=2023f （）A .3-B .4-C .3D .48.若可导函数()x f 时定义在R 上的奇函数，当0>x 时，有()()01ln <⋅+'⋅x f xx f x ，则不等式()()02>⋅-x f x 的解集为（）A .()0,2-B .()2,0C .()2,2-D .()∞+，2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A .“1<a ”是“1<a ”的充要条件B .“1>a ”是“11<a”的充分不必要条件C .“0≠a ”是“0≠ab ”的必要不充分条件D .“2≥x 且2≥y ”是“422≥+y x ”的必要不充分条件10.下列命题中正确的是（）A .4522++x x 的最小值是2B .当1>x 时，11-+x x 的最小值是3C .当100<<x 时，()x x -10的最大值是5D .若正数y x ,满足312=+yx ，则y x +2的最小值为311.已知函数()⎩⎨⎧>≤+-=0,log 0,122x x x tx x x f ，下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的说法中，正确的是（）A .当1>t ，有1个零点B .当2-=t 时，有3个零点C .当10<<t ，有2个零点D .当4-=t 时，有7个零点12.已知函数()x f 及其导数()x f '满足()()()1ln 2+=-'x x x f x f x ，且()01=f ，则下列说法正确的是（）A .()xx f 在()1,0上有极小值B .()xx f 的最小值为1-C .()x f 在()∞+，1上单调递增D .()x f 的最小值为e21-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()1log 32+++=x x x f ，则()x f 定义域是.14.已知关于x 的不等式022<+-b ax x 的解集为()2,1-，则=ab .15.若曲线()xe x y 1+=过点()0,a P 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是.16.已知函数()1ln 212+-=x a x x f ，当02<≤-a ，对任意[]2,1,21∈x x ，不等式()()212111x x mx f x f -≤-恒成立，则实数m 的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）计算：（1）2132014927153--⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）3log 333558log 932log 2log 2-+-.18.（12分）已知函数()1212-+⋅=x xa x f 是定义域为R 的偶函数.（1）求实数a 的值；（2）若对任意R x ∈，都有()kk x f 132+>成立，求实数k 的取值范围.19.（12分）已知集合{}2ax a x A <<=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=014x x x B ，命题A x p ∈：，命题B x q ∈：.（1）若A ∈1，求实数a 的取值范围；（2）若φ≠A ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.（12分）已知函数()x x x x f ln 2-+=.（1）求函数()x f y =的单调区间；（2）证明：对任意的0>x ，()22++>+x x e x f x.21.（12分）已知函数()6123123+-+=x x m x x f .（1）若()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛221，的上存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）若()x f 在区间()+∞,m 上有极小值，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()()ax x x x x f --+=22ln 1.（1）若1=a ，求()x f '的最小值；（2若方程()22x axex f ax-=有解，求实数a 的取值范围.参考答案一、二选择题123456789101112CDBADBABBCBCDABDACD三、填空题13.()∞+-，1；14.16；15.1->a 或5-<a ；16.12.四、解答题17.解：（1）原式()732913231942712123232132=⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⨯；（2）原式13239log 393284log 38log 932log 4log 33333-=-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+-=.18.解：（1）由偶函数定义知：()()x f x f =-，即x x x x x xa a a -----⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅2222222121，∴()()0222=-⋅--xxa 对R x ∈∀成立，∴2=a .（2）由（1）得：()()xxx f -+=222；∵02>x，∴()4224222=⋅≥+--x x xx ，当且仅当xx-=22即0=x 时等号成立，∴()4min =x f ，∴k k 1342+>，即()()0113<--k k k ，解得0<k 或131<<k ，综上，实数k 的取值范围为()⎪⎭⎫⎝⎛∞-1,310, .19.解：（1）∵{}2ax a x A <<=，且A ∈1，∴21aa <<，解得1-<a .即实数a 的取值范围是()1-∞-，.（2）∵φ≠A ，∴2a a <，解得0<a 或1>a ，由014<--x x ，得41<<x ，∴{}41<<=x x B ，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 真子集，∴⎩⎨⎧≤≥412a a （等号不能同时取得），解得21≤≤a ，又0<a 或1>a ，∴21≤<a .∴实数a 的取值范围是(]2,1.20.解：（1）由题可知函数()x f 的定义域为()∞+，0，()x x x x f ln 2-+=，∴()()()xx x x x x x x x f 112121122+-=-+=-+='，令()0<'x f 得：210<<x ；令()0>'x f 得：21>x .∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21上单调递增.（2）要证明()22++>+x x e x f x，只需证明：02ln >--x e x，令()2ln --=x e x g x，则()xe x g x1-='，设()x e x h x1-=，则()012>+='x e x h x，即()x g '单调递增，又∵0221<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e g ，()011>-=e g ，∴函数()x g '有唯一的零点0x （00>x 且10≠x ），满足01=-x e x ，当x 变化时，()x g '与()x g 的变化情况如下，∴()()212ln 0000min 0-+=--==x x x ex g x g x ，∵0212210000=-⋅≥-+x x x x ，x ()0,0x 0x ()+∞,0x ()x g '-0+()x g ↘极小值↗∵10≠x ，∴不能取等号，即02100>-+x x ，即()0min >x g 恒成立，∴02ln >--x e x恒成立，∴对任意的0>x ，()22++>+x x e x f x成立.21.解：（1）∵()6123123+-+=x x m x x f ，∴()12-+='mx x x f ，由题可知，()0<'x f ，即012<-+mx x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛221，上有解，即x x m -<1在⎪⎭⎫⎝⎛221，上有解，∵x x y -=1在⎪⎭⎫⎝⎛221，上递减，∴23123<-<-x x ，∴23<m ，故实数m 的取值范围是23<m .（2）由()0='x f ，即012=-+mx x ，解得24,242221++-=+--=m m x m m x ，∴当1x x <或2x x >时，()0>'x f ，当21x x x <<时，()0<'x f ，∴()x f 在()()+∞∞-,,,21x x 上递增，在()21,x x 上递减，∴()x f 在2x x =处取得极小值，∴m m m >++-242，即m m 342>+，当0≤m 时，不等式成立；当0>m 时，解得220≤<m ，综上，22≤m .22.解：（1）当1=a 时，()()x x x x x f --+=22ln 1，则()11ln 2-+-='xx x x x f ，设()()x f x g '=，则()21ln 21xx x g -+='，∵()x g '在()∞+，0上单调递增，且()01='g ，∴()1,0∈x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减；()∞+∈，1x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()11min -='='f x f ；（2）()22x axex f ax-=，即()()12ln 1222+=+ax e ax x x ，即()()ax axe ex x 2222ln 1ln 1+=+，设()()()0ln 1>+=x x x x h ，则()()axe h xh 22=，()x x x h 11ln ++='，设()()011ln >++=x x x x m ，则()21xx x m -='，∴()1,0∈x 时，()0<'x m ，()x m 单调递减；()∞+∈，1x 时，()0>'x m ，()x m 单调递增，∴()()021>=≥m x m ，即()0>'x h ，()x h 在()∞+，0上单调递增，∴方程()22x axe x f ax-=有解，即ax e x 22=在()∞+，0上有解，x ax ln 22=有解，即x xa ln =有解，设()()0ln >=x x x x n ，则()2ln 1xxx n -='，当()e x ,0∈时，()0>'x n ，()x n 单调递增，()∞+∈，e x 时，()0<'x n ，()x n 单调递减，∴()()ee n x n 1=≤，∴e a 1≤，即实数a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-e 1，.。

2013-2014学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a= 1 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则= ﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k= 6 ．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145 ．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y= ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（2013•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2} ．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（2013•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为 2 ．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9 ．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（2013•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（2013•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD 为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF 的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7 …（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[2000，2800]…（7分）①当0.8x∈[2000，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f （x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n 为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为 T12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，r+1=•x令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（2013•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得 S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想 S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想 S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（ T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．。

2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3}A B a A B ==⋃=，则a = ． 【答案】3【解析】试题分析：因为{0,1,3}A B ⋃=，所以a 只能在0，1，3中取值，又根据集合中元素的互异性，所以3a =，所以答案应填：3． 【考点】集合的交集． 2．如果复数()21aiz a R i+=∈+为纯虚数，则z = ． 【答案】2【解析】试题分析：()22+)(2)=12ai a a iz a R i ++-=∈+（为纯虚数，所以2a =-，所以2221i z i+==+，所以答案应填：2．【考点】1、复数的概念；2、复数的运算．3．如图程序运行的结果是 ．【答案】96【解析】试题分析：初始条件1,1a b ==，2i =；运行第一次，2,2a b ==，3i =；运行第二次，4,8a b ==，4i =；运行第三次，12,96a b ==，5i =．满足条件，停止运行，所以输出的96b =，所以答案应填：96． 【考点】程序框图．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ．【答案】78试卷第2页，总19页【解析】试题分析：四枚硬币的全部的摆法有42=16种，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反反正正反反正，反正正反反正正反，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16-2=14种，所以概率是147=168P =，所以答案应填：78． 【考点】古典概型． 5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ．【答案】23【解析】试题分析：由茎叶图知，乙的稳定性较好，方差较小，81112+12+20+21=146x ++=，由方差公式可得：22222221=[(814)(1114)(1214)(1214)(2014)(2114)]236δ-+-+-+-+-+-=，所以答案应填：23． 【考点】1、茎叶图；2、方差．6．已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R =+，记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ，若1319S S ==，，则2S = ．【答案】4【解析】试题分析：由题意知2141R π=，2349R π=，所以22213169R R π=，即1334R R π=，又221344R R ππ+ 213134[()2]10R R R R π=+-=，所以22134((2)2)10R R R π-=，所以化简得：2244R π=，即24S =，所以答案应填：4．【考点】球的表面．7．经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S = ． 【答案】2【解析】试题分析：设00(,)M x y ，切线斜率0201()k f x x '==-，所以切线方程0021()y y x x x -=--，分别令0,0x y ==得02y y =，02x x =，所以122S y x ==，所以答案应填：2． 【考点】1、导数的几何意义；2三角形面积． 8．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω= ．【答案】2【解析】试题分析：根据题意26f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当7x 12π=时，函数有最小值，因此最小正周期为74()123πππ⨯-=，又2T ππω==，所以2ω=，所以答案应填：2．【考点】1、正弦型函数的图象；2、正弦型函数的性质．9．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＝2b ，sinB，则sin2C＝ ．【解析】试题分析：因为sin B =，由正弦定理得：b =，又a b =，所以a b ==，由余弦定理得：2222223cosC 44c c c c +-==，再根据二倍角公式知，2cosC 12sin 2C =-，且022C π<<，所以sin 24C =，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、余弦的二倍角公式．10．如图，线段AB 的长度为2，点,A B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC OB ⋅uu u r uur的取值范围是 ．试卷第4页，总19页【答案】(0,3]【解析】试题分析：设BAO θ∠=，则23CA X πθ∠=-, 2OA cos θ=，2OB sin θ=，求得点02Bsin θ（，），点2222233C cos cos sin ππθθθ+--（（），（），所以24s i n 2c o s 213O B s i n s i n πθθθθ⋅=--+ OC （） 2sin(2)16πθ=-+，因为02πθ<＜，所以52666πππθ-<-<，所以12sin(2)26πθ-<-≤，所以OB ⋅ OC 的取值范围是(0,3]，所以答案应填：(0,3]．【考点】1、向量的数量积；2、两角和差的正弦公式；3、正余弦的二倍角公式． 11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ．【答案】10【解析】试题分析：设圆心(,)a b ，半径为r ，根据圆C 被x 轴所截得的弦长为2得：22r 1b =+，又切点是()02A -，，所以222r (2)a b =++，且21b a+=，所以解得1,1a b ==-或5,7a b =-=-，从而1r =或2r =1r210r =，所以答案应填：10．【考点】1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程． 12．已知函数()2f x x x =-，则不等式)()1f x f <的解集为 ．【答案】(11)1,)-+∞【解析】试题分析：因为()11f =，当2x ≥时，2()2f x x x =-，解2()21f x x x =-<得：21x ≤<，当2x <时，2()2f x x x =-+，解2()21f x x x =-+≤，即2(1)0x -≥，所以2x <，综上()(1)f x f <的解是1x <+，因此只需1x <且1x ≠，解得1x >-且1x ≠，所以答案应填：(11)1,)-+∞ ．【考点】1、含绝对值函数；2分段函数；3、二次不等式；4、函数的性质．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，分段函数及不等式的解法，属于难题．本题利用绝对值的性质去掉绝对值号，得分段函数，在定义域不同区域上解关于x 的不等式，得出()(1)f x f ≤的解是1x <1x <且1x ≠，即可，本题对整体思维和运算能力要求较高．13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈L ，则集合A中的元素个数为 ． 【答案】2016 【解析】试题分析： 由[(1)()]n(1)(2)(3)()2m m n m m m m n +++⋅++++++⋅⋅⋅++=知，n(n 2m 1)++＝1007100810072623⨯=⋅，又因为n ，n 2m 1++一奇一偶，所以n 是偶数时，n 的取值为10082，100823⨯，1008223⨯，⋅⋅⋅，1008100723⨯，共有1008种情形，交换顺序又得到1008种情形，所以集合共有2016个元素，所以答案应填：2016． 【考点】1、等差数列求和公式；2、整数奇偶性质；3集合概念．14．实数12310082015,,,x x x x x L L ，满足1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤，如果它们的 平方组成公差721007d =的等差数列，当1223x x x x -+-++L 2014|x -2015|x 取最小值时，1008x = ．【解析】试题分析：由题意知1223x x x x -+-++L 2014|x -201521322015201420151|=x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅-=-，又2{}n x 是等差数列，所以2222015117220141441007x x x =+⨯=+，又因为210x ≥，所以22015144x ≥，即20151312x ≥≥，当201512x =时，10x =，2015112x x -=，当201513x =时，15x =，201518x x -=，因为20151x x -取最小值，所以201513x =，15x =，又根据等差中项知2222015110082x x x +=，所以2100897x =，即1008x =，所以答案应填：【考点】1、绝对值的性质；2、等差数列的通项公式；3、等差中项．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，等差数列的通项公式、等差中项及最值问题，属于难题．本题利用绝对值性质得出20151x x -有最小值时，求1008x ，然后利用等差数列得到2220151144x x =+，通过对1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤试卷第6页，总19页的分析，得出2015x 的可能取值，再根据20151x x -有最小值，确定2015x 及1x 取值，从而利用等差中项求解，对思维灵活性要求较高．二、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,3，点N的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中0ω>，设()x f ⋅=（O 为坐标原点）． （Ⅰ）若2ω=，A ∠为ABC ∆的内角，当()1=A f 时，求A ∠的大小；（Ⅱ）记函数()()y f x x R =∈的值域为集合G ，不等式02<-mx x 的解集为集合P ．当G P ⊆时，求实数m 的最大值．【答案】（Ⅰ）11412A A ππ==或；（Ⅱ）2．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量数量积公式及两角和正弦公式得：()sin f x OM ON x x ωω=⋅=sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()1=A f ，注意分析角的范围，然后写出角；（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 求得()f x 的值域[]2,2-=G ，因为02<-mx x 的解是12x x x <<的形式，又G P ⊆，所以只需1x ，2x G ∈即可．试题解析：（Ⅰ）由题意()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x x f 3分当()1=A f 时，2132s i n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=Q 或， 12114ππ==∴A A 或．（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，()f x 的值域[]2,2-=G ，又02=-mx x 的解为m x x ==21,0，故要使G P ⊆恒成立，只需[]2,2-∈m ，所以m 的最大值为2．【考点】1、数量积公式；2、两角和正弦公式；3、子集的概念；4、函数值域．16．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取AA 1的中点F ，连DF ，FE ，根据中点易证线线平行，从而平面DEF ∥平面ABC 1，又因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ；（Ⅱ）在菱形中B 1C ⊥BC 1，又B 1C ⊥AB ，易证B 1C ⊥平面ABC 1，再根据面面平行的性质，得：B 1C ⊥平面DEF ，从而证明B 1C ⊥DE ． 试题解析：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1， 故DF ∥平面ABC 1． 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线， 所以平面DEF ∥平面ABC 1．因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1．（Ⅱ）因为三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ， 因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ．【考点】1、线面平行；2、面面平行；3、线面垂直；4、三角形中位线．【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、线线平行、线线垂直和线面垂直，属于中档题．解题时一定要注意得线线平行的常用证明方法，构造中位线和平行四边形是最常用方法．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．A1A1试卷第8页，总19页17．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求总量y （万吨）与x的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第x 个月的石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（Ⅱ）71924m ≤≤． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由区域外前4个月的需求总量为20万吨知50p =，第x 个月共进原油mx ，区域内调出x ，区域外调出，原来库存10吨，所以10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）；（Ⅱ）要求剩余油量不超过油库容量，所以030M ≤≤恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解．试题解析：（Ⅰ）由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． （Ⅱ）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立，()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩N 恒成立，t =，则：114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号）， 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）． 答：m 的取值范围是71924m ≤≤． 【考点】1、函数的实际应用；2、含参不等式恒成立；3、换元法；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，属于难题．解决函数应用题，要仔细审题，找出各部分量之间的关系，写出函数关系，注意实际问题的实际意义，写好定义域，实际问题的最值一般要用均值不等式或二次函数知识求最值，本题通过换元法转化为二次函数，研究最值，从而求得参数的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的，且右焦点F 到左准线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆()()()22200:0R x x y y m m -+-=>引两条切线，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，当12k k 为定值时求m 的值； （2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于,P Q 时，试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212412x y +=；（Ⅱ）（1）定值，m =（2）定值，2236OP OQ +=．【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率c e a ==22b c =，又右焦点F 到左准线l 的距离为2a c c+=，解得椭圆C 的方程为2212412x y +=；（Ⅱ）（1）设两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，利用圆心到切线的距离等于半径得：m =，化简()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理2k 也适合，知12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，所以由根与系数试卷第10页，总19页的关系得：2201222y mk k x m-=-，又点00(,)R x y 在椭圆上，消元得：220122201122x m k k x m--=-，因为是定值，所以222200122222001112(242)1222x m x m k k x m x m ----+===---，所以22242m m -=，解得m =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，根据（1）121212y y x x ⋅=-，所以2222121214y y x x =，又点在椭圆上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，消去12,y y ，得：221224x x +=，从而221212y y +=，所以2236OP OQ +=．试题解析：（Ⅰ）依题意，22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a c ==则b = 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，m =,化简得()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理()2222202002020x m k x y k y m --+-=．所以12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，22012220y m k k x m-∴=-． 因为220012412x y +=，所以22001122y x =-，所以220122201122x m k k x m --=-． 据2202201122x m t x m--=-,t为定值得：m = （2）由（1）得，1212k k =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =，因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，所以221224x x +=，221212y y +=， 所以2236OP OQ +=．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线与圆锥曲线定值问题．19．设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ．（Ⅰ）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （Ⅱ）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m=+．（1）对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值； （2）令()x ϕ=若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）1230,x x x ===；（Ⅱ）（1）min1m =；（2）2331-+≤m ．【解析】试题分析：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+，要研究函数零点需先根据函数值域求c ，对c 分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是[2,2]-求c ；（Ⅱ）（1）由2a =，(1)3f '=得：()323fx x x =+，()221f x x '=+()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122，特殊化，0=x 时，1≥m ，验证1=m 时，对任意的[]1,1-∈x 成立，所以问题解决．（2） 化简问题得()()12max x x φφ-≥．又()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，从而()()12max 1x x φφ-=，利用1≤试题解析：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+ ① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解．……2分试卷第12页，总19页② 若0c >，则 （i ，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii ，即312c ≤≤时，c=3；（iii ，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩，此方程无解． 由①、②可得，c=3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x ==（Ⅱ） 由2a =，(1)3f '=得：()323f x x x =+，()221f x x '=+，又)()1g x x m=+，对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122．当0=x 时，1≥m ，又1=m 时，对任意的[]1,1-∈x ,))2221)12121x x x⎡⎤-+=-⎣⎦)()2110x x =--≤，即1=m 时，1)13(122+-≤+x x ，∴实数m 的最小值是1，即min 1m =．（Ⅲ） 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，()()2222121121033x x x +-+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由（Ⅱ）得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立，∴)11)1x x +≤≤+．又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，∴)111)(1)1x x -+≤-+．∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ， ∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥．∴2331-+≤m ． 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ， 设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： (),3min==+AB PB PA ()2622max +=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，1m ∴≤+-．【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论．20．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等 比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使试卷第14页，总19页139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．【答案】（Ⅰ）2,2n n n a n b ==；（Ⅱ）存在1λ=±满足条件；（Ⅲ）137．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立，所以取1,2,3n =，又知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<，问题转化为求n b 的最小值，因0n b >，利用1211n n n b b ++=>知n b 单调递增，求n b 的最小值，再根据1(1)n n b λ+-<求解；（Ⅲ）特殊情况0d =时，成立，当d ＞0时，3911382014201438c c d c d=+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，由等比中项知2391k c c c =，化简得()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k --+-=⇒-=-，整理得：*53383953k N d⨯=+∈-，由120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，所以53530d >->，根据*533853N d⨯∈-，故531,2,19d -=，从而52,51,34d =，所以公差d 的所有可能取值之和为137．试题解析：（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ． 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a = 所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩， 得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去． 所以2,2n n n a n b ==．法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥，又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数）， 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2n n n a n b ==． （Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且11n n b b +=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n*∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n bb λ-<==λ>．综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件． （Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯试卷第16页，总19页()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【考点】1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题．解题时一定要注意方法的优化，第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．21．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－13 12 ． 【解析】试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，解得关于,c d 方程组，联立即可． 试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2， 即3c －2d ＝－2．解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12 ． 【考点】矩阵的运算．22．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【答案】(0,0)．【解析】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：y ，化曲线的参数方程为普通方程[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组即可． 试题解析：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l的普通方程为y =， 3分又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， 联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0,0)．【考点】1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点．23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设ξ为随机变量，x ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求概率(1)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】（Ⅰ）()631168P ξ===；（Ⅱ）分布列见解析，期望1716．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意实数对（x ，y ）共有16种，且每种情况出现的机会均等，所以是古典概型问题，1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有6种，所以()631168P ξ===；（Ⅱ）类比1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的概率求法，求出ξ的所有取值为0，1，2，3，4．时的概率，试卷第18页，总19页列出分布列，求其期望．试题解析：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有以下6种：()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4，所以()631168P ξ===； （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．0ξ=有以下6种：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，所以()630168P ξ===；2ξ=有以下2种：()()2,1,4,2，所以()212168P ξ===；3ξ=有以下1种：()3,1，所以()1316P ξ==；4ξ=有以下1种：()4,1，所以()1416P ξ==；所以ξ的分布列为：()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，答：ξ的数学期望为1716．【考点】1、古典概型；2、离散型概率的分布列；3、期望．24．数学运算中，常用符号来表示算式，如0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈．（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]n i in i ni d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）5[1,]3-．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为等差数列的通项公式为n a n =，所以()1202ni ninn n ni a C CC nC ==+++∑ ，由公式11k k n n kC nC --=，可得：122n n n n C C nC +++L 01111()n n n n n C C C ----=+++L ，又01111112n n n n n C C C -----+++=L ，所以问题得证；（Ⅱ）由赋值法，令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ，令1x =-，则20[(1)]0nii i a =-=∑，化简0122(41)(41)(4n nn n n nn n n d C C C C C =--+---++L，利用组合数性质(3)1n n d =-+，代入不等式，分离参数，注意对n 的奇偶性讨论．试题解析：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0ni i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++L 01120()(2)n n n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L 因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0ni i n i a C ==∑1022n n a n -⋅+⋅=12n n -⋅．（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ， 令1x =-，则20[(1)]0n i i i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-，根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n nd C C C C C =--+---++--L 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-， 当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=；当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-．【考点】1、等比数列前n 项和；2、组合数的性质；3、二项式定理．。

江苏省扬州中学高二年级开学考试高二数学2016．08一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ．2．在ABC ∆中,若错误!＝错误!＝错误!,则ABC ∆的形状是_________三角形． 3．已知n m ,为直线,βα,为空间的两个平面,给出下列命题：①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥;②n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα;③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ;④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为 ．4．已知||2a =,||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 5．数列{}n a 满足：2123()n a aa a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _ ____．6． 定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12logy x=的定义域为[],,a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．7．已知)(),(x g x f 均为R 上的奇函数且0>)x (f 解集为（4,10），0>)x (g 解集为（2，5），则0)()(>⋅x g x f 的解集为 ．8．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数,则ω的取值范围为 ____．9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x=+--的最小值为 ．10．设实数b y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x ,,02若y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为 ．11．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________． 13．设{}na 是等比数列，公比2=q ，nS 为{}na 的前n 项和，记)(1712*+∈-=N n a S S T n nn n ，设0n T 为数列{}n T 的最大值,则0n = ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n nSN N N N N N =+++++-+,则n S = ．二、解答题:（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15． (本题满分14分) 在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且错误! ＝－错误!．(1）求角B 的大小；（2）若b ＝错误!，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中,BCAD //，且ADBC 2=,CDPB CD AD ⊥⊥,,点E 在棱PD上，且ED PE 2=．(1)求证:平面⊥PCD 平面PBC ； (2）求证：//PB 平面AEC ．17．(本题满分15分)设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 30所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点个数为n a （n ∈*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1）求数列｛a n ｝的通项公式；(2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且123-⋅=n nns T,若对于一切正整数n ,总有≤nT m,求实数m 的取值范围．18．（本题满分15分）如图，半径为1,圆心角为错误!的圆弧AB 上有一点C ．（1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动,求|错误!＋错误!|的最小值;(2）若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时,求错误!•错误!的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[m ，n ］⊆D ，同时满足:①)(x f 在［m ，n ］内是单调函数;②当定义域是[m ，n ]时,)(x f 的值域也是[m ，n ］．则称［m ，n ］是该函数的“和谐区间"． (1）证明:［0，1]是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间"．（2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”．（3)已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a )有“和谐区间"[m ，n ],当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．20． (本题满分16分）已知首项为1的正项数列{}na 满足221152n n n n a a a a +++<,n *∈N ． (1）若232a =，3a x =,44a =，求x 的取值范围;（2）设数列{}na 是公比为q 的等比数列,n S 为数列{}na 前n 项的和．若1122n n n S S S +<<,n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若1a ,2a ,⋅⋅⋅，k a （3k ≥)成等差数列，且12120k a aa ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka 的公差．扬州中学2016-2017高二第一学期开学考查(高二数学）2016．8 答案：1．(,0)-∞(亦可写成(,0]-∞) 2．等边 3．③④ 45．21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 6．3 7．(5,4)(4,5)-- 8．(0,2]910．9411． 1213．414．423n +15.解：(1)由余弦定理知：cos B ＝错误!，cos C ＝错误!. 将上式代入错误!＝－错误!得：错误!·错误!＝－错误!，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac 。

试卷第1页，共6页绝密★启用前2016届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：188分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）试卷第2页，共6页第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若集合，则实数的取值范围为 .2、已知数列中，（），（），记，若，则.3、已知圆O ：，若不过原点O 的直线与圆O 交于、两点，且满足直线、、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为 .4、已知且，则的最小值为 .5、已知，，，若，则.6、已知函数（），且（），则．7、已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 .8、已知等比数列满足，，则该数列的前5项的和为 .试卷第3页，共6页9、从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .10、双曲线的焦点到渐近线的距离为 .11、某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、……、第八组. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 .12、如图，若输入的值为，则相应输出的值为 .13、若复数（是虚数单位），则的虚部为 .试卷第4页，共6页14、已知集合，，则.二、解答题（题型注释）15、已知函数，设数列满足：，.（1）求证：，都有；（2）求证：16、某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.17、在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.18、已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.19、若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.试卷第5页，共6页（1）已知，且，写出、、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，，，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值20、已知函数（），其中是自然对数的底数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.21、某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为）22、如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.试卷第6页，共6页（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围23、已知函数（）的周期为.（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，，对应的边分别为，，，若，且，，求的面积.24、如图，已知直三棱柱中，，、分别为、中点，.（1）求证：平面； （2）求证：平面平面参考答案1、2、13433、4、35、6、7、58、319、10、411、14412、13、314、15、（1）详见解析（2）详见解析16、（1）（2）当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．17、18、19、（1）（2）（3），或20、（1），（2）（3）21、（1）40（2）拱高为米，拱宽为米22、（1）（2）23、（1）（2）24、（1）详见解析（2）详见解析【解析】1、试题分析：①时，满足②时，，由图像知，综上，实数的取值范围为考点：函数图像2、试题分析：，以下分情况讨论①，，，，……可知该数列四个为一个循环，且，而，又，，，，则时不成立②……可知该数列两个为一个循环，且，而，成立，则考点：数列周期3、试题分析：设，代入圆的方程，化简得：设，得，，由得解得考点：直线与圆位置关系4、试题分析：令，又得，解得即，，当且仅当时取“=”考点：基本不等式求最值5、试题分析：,,由得即，又解得考点：向量数量积，同角三角函数关系，二倍角公式6、试题分析：由得，由且，不妨设，则，，解得，，则考点：给值求角7、试题分析：，得；正四棱锥底面对角线长为8，则此四棱锥的侧棱长为考点：正四棱锥体积8、试题分析：设，可化为，得，，，考点：等比数列通项与求和9、试题分析：从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是考点：古典概型概率10、试题分析：焦点，渐近线，即，则考点：双曲线渐近线11、试题分析：由图得，身高180cm以上（含180cm）的频率为，则人数为考点：频率分布直方图12、试题分析：,由流程图得考点：流程图13、试题分析：,则的虚部为3考点：复数概念14、试题分析：，，则考点：集合运算15、试题分析：（1）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定函数值域，即当时，再利用数学归纳法给予证明（2）由得，两边取对数得，再构造等比数列，从而求得，因此再放缩为一个等比数列的和：试题解析：（1）解：①当时，，有时，不等式成立②假设当时，不等式成立，即则当时，于是，，即，可得所以当时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数，都有（2）由（1）可得两边同时取为底的对数，可得化简为所以数列是以为首项，为公比的等比数列，化简求得：，时，，时，时，，．考点：数学归纳法，数列综合应用16、试题分析：（1）正确理解题意是解决概率问题的关键：参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元是指“参与者在乙箱中摸到红球，且在甲箱中摸到黑球”，因此所求概率为（2）参与者摸球的顺序有两种，需分别讨论：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取，求出对应概率，算出数学期望值；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取，同样求出对应概率，算出数学期望值；比较两个数学期望值的大小，作出判断.试题解析：解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元为事件．则即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元的概率为．（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取则②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取则当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．答：当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．考点：概率，数学期望17、试题分析：利用将极坐标方程、化为直角坐标方程、，再利用点到直线距离公式求最值试题解析：解：圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，则圆上点到直线距离最大值为．考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式18、试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点，则有，因为所以与重合，因此．试题解析：解：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点．由,得又点在上,所以,即依题意,解得，考点：矩阵变换19、试题分析：（1）本小题实质为阅读题意：，则；，则，，则，（2）本小题由特殊到一般，考查归纳与分类：为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；再分类求和：为偶数时，则；为奇数时，则；（3）先按题中定义确定A的范围：设，，从而再由得，为正整数，最后代入验证得，因此，最后由得，经验证得或．试题解析：解：（1），则；，则，，则，（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；为偶数时，则；为奇数时，则；（3）依题意：，，，，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：即故由得，为正整数，当时，，不合题意，舍去；当时，，不合题意，舍去；当时，，适合题意，此时，，为整数或，当时，无解当时，无解当时，当时，无解或综上：，或．考点：新定义20、试题分析：（1）求函数极值，首先确定函数定义域R，再求函数导数，再定义域上求导函数零点，最后列表分析函数极值：，（2）利用导数研究函数单调性，一般先确定对应不等式恒成立：在上恒成立，即在上恒成立；再利用变量分离，转化为对应函数最值：且，注意变量分离时需分类讨论，最后利用导数或基本不等式求最值（3）利用导数研究函数图像，经过两次求导后得导函数先增再减再增，且仅在上有且仅有一个零点，即原函数先减再增，由于，因此，即.试题解析：解：（1），则，（2）问题转化为在上恒成立；又即在上恒成立；，对称轴①当，即时，在上单调增，②当，即时，在上单调减，在上单调增，解得：综上，的取值范围是．（3）设，令，令，在上单调减，在上单调增又由零点的存在性定理可知：即．考点：利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数零点21、试题分析：（1）实际问题为求抛物线方程，再根据方程求对应点的坐标：先确定抛物线形状再代入点解得，最后令，解得：，即隧道设计的拱宽l是40米；（2）由于隧道口截面面积公式为，因此本题难度不大，只需消元，将二元转化为一元问题，再利用导数求解即可.因为抛物线过点过点，代入抛物线方程得：两式相除解得，因此解出定义域：，下面利用导数求解即可.试题解析：解：（1）设抛物线的方程为：，则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，令，解得：，则隧道设计的拱宽l是40米；（2）抛物线最大拱高为h米，，抛物线过点，代入抛物线方程得：令，则，解得：，则，即当时，；当时，，即在上单调减，在上单调增，在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．考点：求抛物线方程，利用导数求最值22、试题分析：（1）求点坐标，一般方法为待定系数法，即列两个独立条件，解方程组就可.M满足直线的方程及直线的方程，而直线的斜率为斜率，因此可由点斜式写出直线的方程为：，而直线与OP垂直，因此由OP斜率的负倒数得直线斜率，也可由点斜式写出直线的方程，联立两方程解出点的横坐标为（2）求椭圆离心率，只需得到关于a,b,c的一个关系式：本题可用a,b,c表示出点P的坐标，再根据点P坐标的取值范围得到a,b,c的一个关系式，设，则点，所以由得，又，解得，而，因此试题解析：（1）直线的方程为：，直线的方程为：由解得：点的横坐标为（2）设，即联立方程得：，消去得：解得：或解得：综上，椭圆离心率的取值范围为．考点：椭圆离心率23、试题分析：（1）研究三角函数性质，一般将三角函数化为基本三角函数形式，即利用降幂公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式：，再根据正弦函数性质求其值域（2）先由确定，这样三角形面积公式就选用，从而问题转化为求，这可利用余弦定理的变形得到：，即，试题解析：解：（1）的周期为，且，，解得又，得，，即函数在上的值域为．（2） 由，知，解得：，所以由余弦定理知：，即，因为，所以∴．考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理24、试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发进行论证，而线线平行，一般可从平面几何条件中寻找，例如中位线性质（2）证明面面垂直，首先转化为线面垂直:平面,而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直的判定及性质定理.先由平面几何条件得,即，又由得平面. 试题解析：证明：（1）、分别为、中点，，平面，平面平面 （2）直三棱柱中，平面平面，为中点，又，，平面，平面又，，，平面平面平面平面平面考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理.。

江苏省扬州中学高三年级开学考试数学试题 2016.08一、填空题：1、命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ ．2、复数12iz i-=的虚部是 ▲ ． 3、设m ，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号 ①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③.若α//m ，β//m ，则βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥．4、设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一） 5、设函数()f x ={}(),A x y f x B ==={}()y y f x =，则右图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．6、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x f 21)(-=0)(<x f 的解集是 ▲ ．7、若函数2()ax f x -=的图象关于点（1，1）对称，则实数a = ▲ ．8、记[]x 为不超过[]x x y -=的最小正周期为 ▲ ．9、设P 是函数y =P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．10、关于x 的不等式22130kx x k --+<的解集为空集，则k 的取值范围 ▲ ．11、设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．12、已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123a a a ++++ 100a = ▲ ．13、设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ．14、已知c b a ,,均为正实数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=c b a bc a b acM ,1,1max ，则M 的最小值为 ▲ ．二、解答题：15、已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->，集合{}2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦． ⑴若5a =，求集合A B ；⑵已知12a >．且“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．16、已知α为锐角，cos（α+）=．（1）求tan（α+）的值；（2）求sin（2α+）的值．17、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．18、将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用时1小时.应如何2分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？小时，而每名（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所3持续的时间.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别是椭圆：+y 2=1的左、右顶点，P （2，t ）（t ∈R ，且t ≠0）为直线x=2上一动点，过点P 任意引一直线l 与椭圆交于C 、D ，连结PO ，直线PO 分别和AC 、AD 连线交于E 、F ．（1）当直线l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t 的值； （2）若t=﹣1，记直线AC 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE 为平行四边形．20、已知函数221)(x x f =，x a x g ln )(=． （1）若曲线)()(x g x f y -=在1=x 处的切线的方程为0526=--y x ，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[1，e ]上存在一点0x ，使得)()()(1)(0'00'0'x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围．附加题21、已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．22、己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．23、甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．24、设二项展开式21*1)()n n C n -=∈N 的整数部分为n A ，小数部分为n B . （1）计算2211,B C B C 的值； （2）求n n B C .江苏省扬州中学高三年级开学考试数学答案 2016.8一、填空题：1、2,250x R x x ∃∈++≤ 2、—1 3、① 4、充要 5、[5,0)(3,4]- 6、（﹣2，0）∪（2，+∞） 7、1 8、1 9、)ππ32⎡⎢⎣， 10、1k ≥11、2 12、-100 13、⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n 14、2二、解答题：15、解：⑴当5a =时，{}(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………２分{}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<．……４分∴{}1527A B x x ⋂=<<．…６分⑵∵12x >，∴256a +>，∴{}625A x x x a =<>+或．………８分 又a a 222>+，∴{}222+<<=a x a x B ．……10分 ∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，∴A B ⊆，∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，…………12分 解之得：122a <≤．……………14分16、解（1）∵α为锐角， ∴0＜x＜，∴＜α+＜，∵cos （α+）=．∴sin （α+）==则tan （α+）==2；（2）∵cos2（α+）=2cos 2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴cos （2α+）=﹣sin2α=﹣，∴sin2α=，∵＜α+＜，cos （α+）=．∴＜α+＜，即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，则sin （2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．17、证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ． 因为ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ．… 因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…因为PC ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ．… （2）因为E 为PA 中点，PD=AD ，所以PA ⊥DE ．… 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE=E ， 所以PA ⊥平面BDE ．…因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．…18、解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==； B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--． 令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间 **6019()10020.x x xF x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩N N ≤， ，，，≥， 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短． （2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时）， B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， 所以植树活动所持续的时间为637小时．19、（1）解：由题意：椭圆： +y 2=1上顶点C （0，1），右焦点E（﹣，0）， 所以l ：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2）证明：直线AC ：y=k 1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…由C ，D ，P 三点共线得：k CP =k DP，得=﹣4（定值）．…（3）证明：要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E 、F 的中点即点O ， 设点P （2，t ），则OP ：y=x ，分别与直线AC ：y=k 1（x+2）与AD ：y=k 2（x+2）联立得： x E=，x F =，下证：x E +x F =0，即+=0化简得：t （k 1+k 2）﹣4k 1k 2=0…由（2）知C ：，D：，由C ，D ，P 三点共线得：k CP =k DP ，得t （k 1+k 2）﹣4k 1k 2=0， 所以四边形AFBE 为平行四边形.20、解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．附加题：1、答案：a=3，b=1．2、解：（1）⊙M ：227(()422x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3()22,(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()12x y +-=.……5分（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分3、解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=， 0 23E ξ==1．4、。

扬州中学2016届高三8月开学考试数 学 （文 科）试 题（全卷满分160分，考试时间120分钟）2015．8一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1.已知集合}011|{},2|||{>+=<=x x B x x A ，则A B I = ▲ ． 2.已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为 ▲ ．3.若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 4. 设向量(1,),(3,4)a x b ==-r r，若//a b r r ，则实数x 的值为 ▲ .5. 曲线cos y x x =-在点)2,2(ππ处的切线方程为 ▲ ． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 ▲ .7. 记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为 ▲ .9.已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则α2cos ＝ ▲ . 10.若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为 ▲ .11. 在菱形ABCD 中，23AB =,23B π∠=,3BC BE =u u ur u u u r ,3DA DF =u u u r u u u r ,则EF AC ⋅=u u u r u u u r▲ ．12. 已知函数R x x x x f ∈++=,11)(，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集为 ▲ . 13.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围为 ▲ .14.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）已知1tan()42πα+=； （1）求tan α； （2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+．16. （本小题满分14分）已知命题p :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :关于实数x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根．（1） 若命题“p 或q ”真，“p 且q ”假，求实数m 的取值范围．（2） 若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题q 为真命题时，m 的取值集合为N ，当M N M =U 时，求实数m 的取值范围．17. （本小题满分14分）已知向量())()sin 2,2cos ,3,cos m x x n x x R ==∈u r r，函数() 1.f x m n =⋅-u r r（1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,1,f A b ABC ==∆的面积为32，求a .18. （本小题满分16分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在圆的圆心为O ．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH (其中E ，F 在圆弧AB 上， G ，H 在弦AB 上)．过O 作OP AB ，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ．已知OP ＝10，MP ＝6.5（单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S （单位：m 2）． （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设∠POF ＝θ (rad)，将S 表示成θ的函数； (ii)设MN ＝x (m)，将S 表示成x 的函数；（2）请选择上面的某一种方案来求： 当MN 为多少时，通风窗EFGH 的面积S 最大？19.（本小题满分16分）已知函数 错误!未找到引用源。

一、填空题（本大题共14小题,每题5分，满分70分．） 1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B等于 ．【答案】{}1,2 【解析】试题分析：根据交集运算的意义知，{1,2}A B =,所以答案应填：19．考点：集合交集运算．2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ． 【答案】5考点：复数的运算．3．抛物线22y x =的准线方程为 ．【答案】81-=y【解析】试题分析：由22y x =得：212xy =，所以128p =，准线方程为81-=y ，所以答案应填:81-=y ．考点：抛物线方程．4．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)cos(απ-的值是 ．【答案】55- 【解析】试题分析：由三角函数定义知15cos 55α==，又由诱导公式知5cos()cos 5παα-=-=-，所以答案应填：55-． 考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．5．设函数f (x )＝错误!cos(ωx ＋φ），对任意x ∈R 都有f 错误!＝f 错误!，若函数g （x ）＝3sin(ωx ＋φ）－2,则g (错误!）的值为_________．【答案】2- 【解析】试题分析:由33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，3x π=是()f x 的对称轴，所以3πωϕ+的终边在x 轴上，所以320223()()3g sin x ππϕ=--==＋－，所以答案应填：2-．考点：三角函数的性质． 6．“N M >”是“N M 22log log>”成立的________条件.(填“充分不必要"“必要不充分"“充要"或“既不充分也不必要”）。

【答案】必要不充分考点：充分条件、必要条件．7．若nS 为等差数列}{na 的前n 项和，,104,36139-=-=S S则5a 与7a 的等比中项为___. 【答案】24±【解析】 试题分析:由,104,36139-=-=S S知57936,13104a a =-=-，因而574,8a a =-=-，故5a 与7a 的等比中项为24±，所以答案应填:24±．考点：等差数列前n 项和的性质．8．设函数f (x )在(0，＋∞）内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________． 【答案】2 【解析】试题分析:令xt e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x'=，()21f '=，所以答案应填：2． 考点：导数的运算．9．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为_________.【答案】57考点：线性规划．10．在边长为1的正ABC ∆中,向量,BA x BD =,CA y CE =0,0>>y x ，且,1=+y x 则BE CD ⋅的最大值为________。

总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1.【甘肃省兰州第一中学2016届高三期中考试】若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(,0]-∞ B. [0,)+∞ C ．(,0)-∞ D.(0,)+∞ 【答案】A【解析】由题意得：求函数2log (1)m x x =-≥的值域，由21log 00x x m ≥⇒≥⇒≤，所以选A.2.【浙江省温州市十校联合体2016届高三联考】当3x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞,3] B ． 【答案】D3.【河北省唐山一中等五校2016届高三联考】函数2()log (2)a f x ax =-在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.1[,1)2B.(1,2)C.(1,2]D.1(,1)2【答案】C【解析】设22u ax =-，由题设知，0a > 且1a ≠ ，所以22u ax =-在(0,1)上为减函数，且0u >在区间(0,1)上恒成立，所以有11220a a a >⎧⇒<≤⎨-≥⎩ ，故选C.4.若不等式223xlnx x ax ≥－＋－恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ． D ．(-12,15] 【答案】C11.【2016河北衡水二调】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t-≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t -+的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D12.现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅I 【答案】C【解析】对（1）：由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即(0,0)1xy x y x =>>-. 不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可. (1)111222212(1)32231111x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=-++≥----（当212x =+时，取等号）.t 的取值范围是223t <.（二） 填空题（4*5=20分）13.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮】1111111111111n ++++L L 14243个之和是____________.【答案】11091081n n +--14.【江苏省扬州中学2016届高三考试】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】),2[+∞.【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，∴当0x <，有0x ->，2)()(x x f -=-，∴2)(x x f =-，即2)(x x f -=，∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ，∴)(x f 在R 上是单调递增函数，且满足)2()(2x f x f =， ∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在[,2]t t +恒成立，∴2x t x +≥在[,2]t t +恒成立，解得t x )21(+≤在[,2]t t +恒成立，∴t t )21(2+≤+， 解得：2≥t ，则实数t 的取值范围是),2[+∞．15.【2016届上海市闸北区高三期末】若不等式21x x a <-+在区间()33-，上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[)+∞,7.【解析】a x x +-<12在区间()3,3-恒成立，∴21x x a --<在区间()3,3-恒成立，只需求=y 12--x x 的最大值，当31<≤x ，()12--=x x y ，当3=x ，7m ax =y ，当13<<-x 时，()1122-+=--=x x x x y ，当3-=x 时，5max =y ，因此12--x x 的最大值是7，但是取不到.16.【2016届高三江苏教育学院附属高中期中】当)1,2(--∈x 时，不等式0124<++mx x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】17(,]4-∞-. 【解析】4222110()x mx m x x++<⇒<-+，2(1,4)x ∈，而22117()4x x -+>-，∴174m ≤-. 解答题（6*12=72分）17.【2016届山东师范大学附属中学高三模拟】若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围？ 【答案】)4,(-∞.18.【2016江西师大附中、鹰潭一中一联】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）212y x =．（Ⅱ）（ⅰ）0a <时，不论a 取何值，t 均与m 有关， 即0a <时，A 不是“稳定点”； （ⅱ）0a >时，仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关.【解析】（Ⅰ）由题意，211||||2182222MONp p S OA MN p =⋅⋅=⋅⋅==△， 6p =∴，抛物线C 的标准方程为212y x =． （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，19.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（I ）15；（II ）[2,)+∞. 【解析】 （I ）∵4t =，∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x +=-=+-=1log 4(2)a x x=++，………………2分20.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1.【解析】（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭Q Q .（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q g ,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++g , ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++g ,②∴①- ②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=---g g ,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥Q 恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>Q g g g ,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.21.【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时，求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）21e e --，0；（2）21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-U .②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<， 可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在(1,1)b +上单调递减，在(1,)b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+． 因为0ln(1)1b <+<，所以0ln(1)b b b <+<，所以2ln(1)2b b b +-+>，即(1)2h b +>，不满足题意，舍去．综上可得2b <-或211e b e +>-，所以实数b 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-U ． 22.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =．已知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,()242g x x x x a x a a ⎧⎫=+-+-++⎨⎬⎩⎭．（1）设21()()3()(1)2h x f x x x =---，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数； （2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2个；（2）存在，ln 21(,2]4-.。