目录
第一章高中数学解题基本方法 (2)
一、配方法 (2)
二、换元法 (3)
三、待定系数法 (4)
四、定义法 (5)
五、数学归纳法 (5)
六、参数法 (7)
七、反证法 (7)
第二章高中数学常用的数学思想 (9)
一、数形结合思想方法 (9)
二、分类讨论思想方法 (10)
三、函数与方程的思想方法 (10)
四、等价转化思想方法 (11)
前言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对
数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几
何几个部分重要章节的数学知识。
第一章 高中数学解题基本方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a 2＋
b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；
a 2＋a
b ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32
b ）2； a 2＋b 2＋
c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝
12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；
x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x
)2＋2 ；…… 等等。 Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23
B. 14
C. 5
D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩
,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩
。 长方体所求对角线长为：x y z 222
++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5 所以选B 。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不
等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点
联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π
2
]，问题
变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S
2
＋t，y＝
S
2
－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一
定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π
2 ]。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （①式），设S＝x2＋y2，求
1
S
max
＋
1
S
min
的值。（全
国高中数学联赛题）
【分析】由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设
x S
y S
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
cos
sin
α
α
代入①式
求S
max 和S
min
的值。
【解】设
x S
y S
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
cos
sin
α
α
代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5
解得S＝
10
852
-sinα
；
