高中数学高考导数题型分析及解题方法(带公式)
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高中数学高考导数题型分析及解题方法(带公
式)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1.
32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数
c = 6 ;
3.函数
331x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3
题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线3
4y x x =-在点(
)
1,3--处的切线方程是 2y x =-
2.若曲线x x
x f -=4
)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为
(1,0)
3.若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --=
4.求下列直线的方程: (1)曲线123
++=x x y 在
P(-1,1)处的切线; (2)曲线2
x y =过点P(3,5)的切
线; 解:(1)
123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P
所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即,
(2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则2
00x y =①又函数的导数为x y 2/
=,
所以过
),(00y x A 点的切线的斜率为
/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以
有
3
52000--=
x y x ②,由①②联立方程组得,⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25
5 110
000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切
线斜率为;2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切
线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,
或
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
(Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围
解:(1)由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为:
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故⎩⎨
⎧-=-=+⎩⎨
⎧-=-=++3023
3
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴.542)(2
3+-+=x x x x f
(2)).2)(23(443)(2
+-=-+='x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤ 13。 (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 ① ② 依题意)(x f '在[-2,1]上恒有)(x f '≥0,即.032 ≥+-b bx x ①当 6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时; ②当 φ∈∴≥++=-'='-≤= b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时; ③当. 60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述,参数b 的取值范围是),0[+∞ 2.已知三次函数32 ()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-. (1) 求函数()y f x =的表达式; (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值; (3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件. 解:(1) 2()32f x x ax b '=++, 由题意得,1,1-是2 320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-. 再由(2)4f -=-可得2c =-.∴ 3 ()32f x x x =--. (2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-, 当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x '=; 当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x '=; 当1x >时,()0f x '>.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数; 在区间[1,]-1 上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-.