(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.
3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11
-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.
2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221
)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式
三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
解方程组求得函数解析式。例5 设,)1
(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1
)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求
)(x f
1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3
2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2） (21)x x 已知f －
的定义域是[-1,3],求f()的定义域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x 的围出发，推出y=f(x)的取值围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数
四．1．定义:2.性质：
①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]
3
1、函数单调性的定义：2 设()[]x
g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。
一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论 二：函数单调性的判定，求单调区间
322--=x x y 322--=x x y 452-+-=x x y 3
212
+--=
x x y
)23(log 2
2+-=x x y x
x y 422
1
-=
x x y 212+= 51212
+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y
x a x y +
= （0>a ） x
a
x y -= （0>a ） 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有
)2()2(-=+t f t f ，那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，数a 的取值围。 例：设 是定义在 上的增函数， ，且 ，
求满足不等式 的x 的取值围.
3.取值围例: 函数 在 上是减函数,则 的取值围是_______．
例：若(31)41()log 1a a x a
x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值围是（ ）
A.(0,1)
B.1(0,)3
C.11
[,)73
D.1
[,1)7
4. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值。
例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值。
5.抽象函数单调性判断
例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=
⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数
⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)2
1
(
)(--x f x f ≥2的x 的取值围 例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1
x 2
)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.
六．函数的周期性：
1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。说明：nT 也是)(x f 的周
