基于MCMC方法的随机传染病模型参数估计

Ｅ（ｔ＋ｈ）＝［Ｅ（ｔ）－Ｃ（ｔ）］＋Ｂ（ｔ）
{Ｃ（ｔ）～Ｂｉｎ（Ｅ（ｔ），ｐＣ）
ｐＣ ＝１－ｅｘｐ（－ρｈ），其中
１ ρ
＝τ
（４） （５） （６）
Ｉ（ｔ＋ｈ）＝［Ｉ（ｔ）－Ｄ（ｔ）］＋Ｃ（ｔ）
{Ｄ（ｔ）～Ｂｉｎ（Ｉ（ｔ），ｐＲ）
ｐＲ
＝１－ｅｘｐ（－γｈ），其中
１ γ
＝σ
（７） （８） （９）
Ｒ＝Ｎ－Ｓ－Ｅ－Ｉ
技术应用
当汽车内的温度达标后，离合器会分离，此时压缩机会停止工 作；当车厢内的温度较高时，离合器会吸合，此时压缩机就会带 动空调系统工作。而这样的频繁启停，可能会加剧压缩机及其 离合器的磨损，甚至出现打滑等问题，使得空调制冷系统无法 正常工作。 ２．２ 冷凝器及蒸发器常见故障
冷凝器一般安装在发动机的主水箱前面，容易受到外界自 然因素的影响。比如树叶、泥沙、尘土等杂物很容易落到冷凝 器表面，使其通风受阻；酸雨等物质可能会腐蚀冷凝器表面，造 成制冷剂泄露等故障。蒸发器一般安装在车厢内的仪表台下 方，随着使用时间的延长，人体的汗液、毛发以及车厢内的粉尘 都会积聚在蒸发器表面上，使得其无法正常工作。 ２．３ 制冷剂不足或加注过量
性阶段的特定指所述的留在阶段内的概率。潜伏期和传染期的指数分布可由
几何分布近似代替，其均值分别为 １和 １。以时间 ｔ之前的所 ｐＣ ｐＲ
有信息为条件，二项随机变量 Ｂ（ｔ）、Ｃ（ｔ）和 Ｄ（ｔ）是独立的。
（下转第 １６８页）
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考虑一个时间间隔（ｔ，ｔ＋ｈ），其中 ｈ表示测量时间点之间
的长度，这里 ｈ＝１天。设 ｔ时刻总人口数为 Ｎ（ｔ），假设不考虑
人口的迁移，令 Ｎ（ｔ）＝Ｎ。令 Ｓ（ｔ）、Ｅ（ｔ）、Ｉ（ｔ）和 Ｒ（ｔ）分别为
时刻 ｔ人群中易感个体、暴露个体、感染个体和迁移个体的数
量。Ｂ（ｔ）表示 感 染 的 可 感 知 个 体 的 数 量，Ｃ（ｔ）表 示 症 状 出 现
（１０）
给定初始条件 Ｓ（０）＝ｓ０，Ｅ（０）＝ｅ０，Ｉ（０）＝ａ和总体大小
Ｎ。参数
β（ｔ）、１ρ和
１分别为时间依赖性传播率、平均潜伏期 γ
和平均感染期。β（ｔ）＝βｅｘｐ（－ｑｍａｘ（ｔ－ｔ ），０）起到指数减 少的作用，ｔ 是疫控起始点，即第一个观测到的数据的时间点。 个体从疾病的前一阶段到下一阶段的转变被视为在相应的种
" 概述 数学模型被广泛用于描述传染性疾病传播的动态机理，最
普遍应用的理论框架是将人群分解为易受感染人群、被感染人 群但不具有传染性（暴露）、具有传染性的人群、已恢复的人群， 这样的模型称为 ＳＥＩＲ（ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ－ｅｘｐｏｓｅｄ－ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓ－ｒｅｃｏｖ ｅｒｅｄ）模型，它描 述 了 具 有 潜 伏 期 的 传 染 病 的 传 播 过 程。 传 染 病模型的理论是复杂的，首先是因为一个或几个模型变量可能 是不可见的（潜在的），其次数据通常在离散时间点可用，而潜 在的真实过程是连续的。再次，模型参数可能会随着时间而变 化，比如在流 行 病 期 间 引 入 控 制 疾 病 传 播 的 干 预 措 施。 文 献 ［１］研究了具有随机扰动的传染病 ＳＥＩＲ模型，证明解是唯一 的、非负的；文献［２］研究了 ＳＥＩＲ传染病模型的动态分析和扰 动解，都给出了解析解的形式，但没有求出里面的参数。所有 这些研究都是基于这样一个假设：研究者可以获得所有事件时 间或其子集，但很少记录单个事件发生的时间。更常见的是， 观察的数据集是在时间间隔（如一天或一周）内发生的事件的 时间序列；文献［３］以埃博拉病毒为例，讨论了具有控制干预的 随机流行 ＳＥＩＲ模型的贝叶斯统计推断；文献［４］利用贝叶斯 统计推断研 究 了 一 类 流 行 病 数 学 模 型———ＳＩＲ模 型 的 参 数 估 计及应用。可见，贝叶斯统计推断在求解流行病模型的精确解 方面起到了很大的推动作用。
在汽车空调制冷系统运行时，只有制冷剂的加注量刚好达 标，才能保证 空 调 系 统 正 常 运 行。 如 果 空 调 循 环 系 统 发 生 泄 漏，那么制冷剂就会不断减少，进而就会造成系统的工作压力 和制冷剂状态发生改变，轻则影响制冷效果，重则可能导致空 气被吸入空调系统，使得空调系统的重要部件损坏。在维修作 业中，有时也可能存在加注量过多的情况，而这会造成空调系 统的工作压力明显增高，加大压缩机的工作负荷，轻则会使得 制冷效果变差，重则甚至可能造成压缩机损坏。总之，制冷剂 加注过量对整个汽车空调系统的危害性是非常大的，必须加以 重视。 诊断分析方法探讨
日期前的病例数量，Ｄ（ｔ）表示在该时间间隔内从感染类别中移
除的病例数量。τ 表示流行病灭绝的时间点。我们对随机连
续时间 ＳＥＩＲ模型使用离散时间近似，得到下面的模型：
{Ｓ（ｔ＋ｈ）＝Ｓ（ｔ）－Ｂ（ｔ） Ｂ（ｔ）～Ｂｉｎ（Ｓ（ｔ），Ｐ（ｔ）） Ｐ（ｔ）＝１－ｅｘｐ（－β（ｔ）Ｉ（ｔ）ｈ／Ｎ）
（１） （２） （３）
技术应用
ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＡＮＤ ＭＡＲＫＥＴ Ｖｏｌ．２６，Ｎｏ．６，２０１９
基于 ＭＣＭＣ方法的随机传染病模型参数估计
张振荣
（天津农学院 基础科学学院，天津 ３００３８４）
摘 要：将经典传染病 ＳＥＩＲ模型离散化，用 ＭＣＭＣ方法动态描述传染病的传播过程，估计其中的参数，求出最终康复的 人数，为实际研究工作提供理论依据。 关键词：ＳＥＩＲ模型；ＭＣＭＣ方法；参数估计 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－８５５４．２０１９．０６．０７７
群间的随机运动。假设在一个阶段内停留的时间长度为间隔
率 λ（ｔ），它呈指数分布，则将停留时间延长一段时间 ｈ的可能
性为 ｅｘｐ（－λ（ｔ）ｈ），因此离开的概率为 １－ｅｘｐ（－λ（ｔ）ｈ）。二
项分布（２）（５）（８）是由单个伯努利试验的总和得出的，假设一
个阶段内的所有人都是独立同分布的。由于易感、暴露和感染
本文讨论了离散时间流行病数据可用于自然史属于 ＳＥＩＲ 模型的传染病。Ｂａｉｌｅｙ（１９７５年）、Ｏ′Ｎｅｉｌｌ和 Ｒｏｂｅｒｔｓ（１９９９年） （文献［３］）基于似然推 理考虑 了 时 间 间 隔 等 于 疾 病 发 生 期 （链式二项模型）。在链式 二项模型 中，假 设生 成期，即潜 伏 期和感染期合在一 起 是 固 定 的。 在 这 里 ，我 们 放 宽 了 这 一 假 设，允许潜在周期和非传染性周期是随机的，在时间节点观测 到的数据长度不同于生成期长度。通过引入状态变量转换的 概率密度，我们建立一个概率离散时间模型，在很小的区间长 度内，该模型可以很好地逼近随机 ＳＥＩＲ模型生成的基础连续 时间过程。然后，在转 换 密 度 的 基 础 上，可 得 到 数 据 的 似 然 函数。 # 1*23 模型离散化