椭圆的几何性质(5)
——椭圆的参数方程（教案）
一． 齐鲁石化五中 翟慎佳 目的要求：
1．了解椭圆参数方程，了解系数a 、b 、ϕ含义。
2．进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3．培养理解能力、知识应用能力。
二． 教学目标：
1．知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。
2．能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。
3．德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。
三． 重点难点：
1．重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2．难点：椭圆参数方程的推导及应用。
四． 教学方法：
引导启发，计算机辅助，讲练结合。
五．教学过程： （一）引言（意义）
人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。
本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。
（二）预备知识（复习相关）
1．求曲线方程常用哪几种方法？
答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2．举例：含参数的方程与参数方程
例如：y =kx +1（k 参数）含参方程，而⎩⎨⎧+==1
42t y t
x （t 参数）是参数方
程。
3．直线及圆的参数方程？各系数意义？
（三）推导椭圆参数方程
1．提出问题（教科书例5）
例题．如图，以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆。点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥O x ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M 。求当半径OA
绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
2． 分析问题
本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法——参数法。
引导学生阅读题目，回答问题： （1）动点M 是怎样产生的？
M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2）如何设出恰当参数？
设∠AOX=ϕ为参数较恰当。
3．解决问题（板演）
解：设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，
取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即
⎩
⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x ① 引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。 4．更进一步（板演：化普通方程）
分别将方程组①的两个方程变形，得⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕ
sin cos b
y
a x
两式平方后相加，
消去参数得方程122
22=+b
y a x
由此可知，点M 的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。ϕ为参数，为离心角，常数a 、b 分别是椭圆长半轴和短半轴长。
5． 加深理解
（1） 椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕ
ϕ
sin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义。
离心角ϕ与∠MOX 一般不同。参数方程提供了设点的方法。 （2） 椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消参”。
（3） 椭圆的参数方程也可由122
22=+b
y a x （a>b>0）三角换元直接得出，
即令
ϕcos =a x ，ϕsin =b
y
。双曲线也有类似换元。 （4） 可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程
（四）参数方程的应用（例题分析）
例1． 参数方程普通方程互化（1）⎩⎨⎧==θ
θsin 5cos 3y x （2）116222
=+y x
例2. 练习：参数方程普通方程互化 （1）⎩⎨⎧==t y t x sin 10cos 8 （2）1962
2=+y x 例3．在椭圆8822=+y x 上求点P ，使P 到L ：x-y+4=0的距离最小。 分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由8822=+y x 得
288y x -±=，则P 到L 的距离 2
|
488|2+--±=
y y d
再想办法求最值，但太繁不可取。
分析2：（几何法）把直线L 平移到L 1与椭圆相切，
此时切点P 为所求的点。即设L 1：x-y+m=0,
由⎩
⎨⎧=+=+-8802
2y x m y x ， 整理得9y 2-2my+m 2-8=0.
由△=4m 2-4·9(m 2-8)=0得m=±3. 如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离，
2
2
2
|34|=
-=
d ，此时P （-31,38）
分析3：（参数法）设P （22cos ϕ,sin ϕ），则有
2
|
4)sin(3|2
|
4sin cos 22|+-=
+-=
θϕϕϕd ，其中22tan =θ
当2
π
θϕ-
=-时，d 有最小值
2
2
， 则322sin cos -
=-=θϕ，31cos sin ==θϕ 即P （-3
1
,38） 方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单
（2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程
例4．P(x,y)为椭圆14
22
=+y x 上任一点，求2x+y 的最大值。 例5．设椭圆⎩
⎨⎧==)(sin 32cos 4是参数ααα
y x 上一点P ，使OP 与x 轴正向所成
角∠POX=
3
π
，求P 点坐标。 分析：本题容易产生错误：认为α=
3
π
，代入椭圆参数方程 x=2,y=3，从而P （2，3）。
事实上，若注意P 对应参数α与∠POX 关系，可避免此误。
解：设P （αcos 4，αsin 32），由P 与x 轴正向所成的角为3
π
，
∴α
α
π
cos 4sin 323
tan
=
，即tan α=2. 而sin α>0,cos α>0,
