“最值问题”集锦
●平面几何中的最值问题 (01)
●几何的定值与最值 (07)
●最短路线问题 (14)
●对称问题 (18)
●巧作“对称点”妙解最值题 (22)
●数学最值题的常用解法 (26)
●求最值问题 (29)
●有理数的一题多解 (34)
●4道经典题 (37)
●平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：
①运用配方法求二次三项式的最值；
②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，
在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时
A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。
1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？
分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，
所以
所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．
-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，
上式只有当x=R时取等号，这时有
所以2y=R=x．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，
这时，梯形的底角恰为60°和120°．
2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出
最大面积，使得窗户透光最好？
分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，
若窗户的最大面积为S，则
把①代入②有
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．
3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？
分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．
为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，
所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，
所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．
4 如图3－94，在直角△ABC 中，AD 是斜边上的高，M ，N 分别是△ABD ，△ACD 的内心，直
线MN 交AB ，AC 于K ，L ．求证：S △ABC ≥2S △AKL ． 证 连结AM ，BM ，DM ，AN ，DN ，CN ．
因为在△ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ， 所以 ∠ABD=∠DAC ，∠ADB=∠ADC=90°． 因为M ，N 分别是△ABD 和△ACD 的内心，所以
∠1=∠2=45°，∠3=∠4， 所以 △ADN ∽△BDM ，
又因为∠MDN=90°=∠ADB ，所以 △MDN ∽△BDA ， 所以 ∠BAD=∠MND ．
由于∠BAD=∠LCD ，所以 ∠MND=∠LCD ，
所以D ，C ，L ，N 四点共圆，所以 ∠ALK=∠NDC=45°．
同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL ．因为 △AKM ≌△ADM ， 所以 AK=AD=AL ．而
而
从而
所以 S △ABC ≥S △AKL ．
5. 如图3－95．已知在正三角形ABC 内(包括边上)有两点P ，Q ．求证：PQ ≤AB ． 证 设过P ，Q 的直线与AB ，AC 分别交于P 1，Q 1，连结P 1C ，显然，PQ ≤P 1Q 1．
因为∠AQ 1P 1+∠P 1Q 1C=180°，
所以∠AQ 1P 1和∠P 1Q 1C 中至少有一个直角或钝角． 若∠AQ 1P 1≥90°，则 PQ ≤P 1Q 1≤AP 1≤AB ； 若∠P 1Q 1C ≥90°，则 PQ ≤P 1Q 1≤P 1C ．
同理，∠AP 1C 和∠BP 1C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP 1C ≥90°，
则 P
1
C≤BC=AB．
对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．
6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d
1
，
d 2，求d
1
+d
2
的最大值(1992年上海初中赛题)．
解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．
(1)若l与BC相交于D，则
所以
只有当l⊥BC时，取等号．
(2)若l′与B′C相交于D′，则
所以
上式只有l′⊥B′C时，等号成立．
7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长
AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．
