专题：求函数值域的方法总结
一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范围。
【例1】求函数y x1的值域。
1
y
的值域。
【例2】求函数x
2
【例3】已知函数y x11，x1,0,1,2，求函数的值域。
二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
2
F(x)af(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】求函数225,[1,2]
y x x x的值域。
2
21的最值。
【变式】已知2x3x，求函数f(x)x x
【例2】若函数2
f(x)x2x2,当x[t,t1]时的最小值为g(t)，（1）求函数g(t)
（2）当t[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点
三分法）
【例3】已知2
f(x)x2x2，当x[t，t1](t R)时，求f(x)的最大值．
【例4】(1)求2
f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。
(2)求函数y x(x a)在x[1,1]上的最大值。
【例5】已知二次函数 2
f(x)ax ( 2a 1)x 1在区间3
2
,2 上的最大值为3，求实
数a 的值。
【变式】已知函数 2
f (x) ax 2ax 1在区间[ 3,2] 上的最大值为4，求实数 a 的值。
【例6】已知函数的值。
2
x
f (x) x 在区间[m,n] 上的最小值是 3 m最大值是 3 n，求m， n
2
【例7】求函数y x 3 5 x 的值域.
三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为y k f (x) (k为常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】求函数
x 2
y 的值域
x 1
【例2】求函数
2
x x
y 的值域。
2
x x 1
【变式】求下列函数的值域：
x 1 (1) y 3 2 (2)
x
2
x 1 y .
2
x 1
四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
【例1】求函数
x
12
y的值域。
x
12
【例2】求函数y 3x4
5x6
值域。
【例3】求函数
x
e1
y的值域。
x
e1
a bx
【例4】求函数(a0,b0,a b,x[1,1])
y的值域。
a bx
五、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0；通过方程有实数根，
判别式0，从而求得原函数的值域，形如y
2
a x
b x c
111
2
a x
b x c
222
（a、a2不同时
1
为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）
【例1】求函数
y 1
1
2
x x
2
x
的值域。
【例2】求函数y x x(2x)的值域。
【例3】已知函数f(x)
2
2x ax b
2
x1
的值域为[1，3]，求a,b的值。
【例4】求函数y的值域。
x1
2x
x22
【例5】已知函数y m x n
2 1
x
的最大值为4，最小值为—1 ，则m = ，n =
【例6】求函数y x 2
2
x 2x 3
的值域。
六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d（a 、b 、c、d 均为常数，且a 0）的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法
将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是
二次式时，用三角换元。
【例1】求函数y 2x 1 2x 的值域。
x 5
【例2】求函数y 2 log x 1(2 x 10)
3
的值域。
【例3】求函数y x 1 x 1 的值域。
【例4】求函数
2
y x 2 1 (x 1)的值域。
3
x x
y
4 2
【例5】求函数x 2x 1
的值域。
x ,
【例6】求函数y (sin x 1)(cos x1) ，12 2 的值域。
【例7】求函数
2
y x 4 5 x 的值域。
2 x x x
2
【例8】求函数y (x 5 12)( 5 4) 21的值域。
