高中数学圆的方程知识点题型归纳

第一讲圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

1

（1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋D

2)

2＋(y＋

E

2)

2＝

D2＋E2－4F

4

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D

2，－

E

2)为圆心，

1

2D

2＋E2－4F为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D

2，y＝－

E

2，即只表示一个点(－

D

2，－

E

2)；③当D

2＋

E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

（三）温馨提示

1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中

点，则x＝12

2

x x

+

，y＝12

2

y y

+

.

二、典例归纳

考点一：有关圆的标准方程的求法

【例1】圆()()()

2220

x a y b m m

+++=≠的圆心是，半径是.

【例2】点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()

A．(－1,1) B．(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)

【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()

A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()

A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

【变式1】已知圆的方程为()()()()

12240

x x y y

--+-+=，则圆心坐标为

【变式2】已知圆C与圆()22

11

x y

-+=关于直线y x

=-对称，则圆C的方程为

【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方

程是( )

A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －7

32＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D.⎝⎛⎭

⎫x －3

22＋(y －1)2＝1 【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.

方法总结：

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 的方程组．

2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的

运用．

考点二、有关圆的一般方程的求法

【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )

A .14＜m ＜1

B ．m ＜14或m ＞1

C ．m ＜1

4 D ．m ＞1

【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )

A ．x ＋y －1＝0

B ．x ＋y ＋3＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y ＋3＝0

【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．

【变式1】 已知点P 是圆2

2

:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =

【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -，且圆心在320x y --=上，求圆的方程.

【变式3】 平面直角坐标系中有()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B C D -四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？

【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．

方法总结：

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D ，E ，F 的方程组． 2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题

【例1】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2＋y 2＝32

B ．x 2＋y 2＝16

C ．(x －1)2＋y 2＝16

D ．x 2＋(y －1)2＝16

【例2】

方程

y = ）

A. 一条射线

B. 一个圆

C. 两条射线

D. 半个圆

【例3】 在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ）

A. 2

2

3x y += B. 2

2

4x y +=

C. ()2290x y y +=≠

D. ()2290x y x +=≠

【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为1

2的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出

曲线．

【变式1】 方程

1x -= ）

A. 一个圆

B. 两个圆

C. 一个半圆

D. 两个半圆