2019江苏高考数学14个填空题专题练 数 列
A 组——题型分类练
题型一 等差、等比数列的基本运算
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________． 解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝a 4－a 24－2
＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13. 答案：－13
2．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *) ①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1 ②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n .
答案：1－2n
3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516
，则a 5＝________. 解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，
由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝(a 1q )2，a 1q ＋a 1q 3＝516，解得⎩⎨⎧ a 1＝12，q ＝12，
所以a 5＝a 1q 4＝132
. 法二：(整体思想)依题意由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，
得16a 22＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝14，从而a 4＝116，从而由q 2＝a 4a 2＝14
，又q >0，所以q ＝12，a 5＝a 4q ＝116×12＝132
. 答案：132
[临门一脚]
1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．
3．等差、等比数列的通项公式：
等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m (a 1≠0，q ≠0)．
4．等差、等比数列的前n 项和：
(1)等差数列的前n 项和为：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎫a 1－d 2n (二次函数)． 特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．
(2)等比数列的前n 项和为：
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，
特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q
，则S n ＝a －aq n ，要注意对q 是否等于1讨论． 题型二 等差、等比数列的性质
1．(2018·苏北四市质检)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 22＝36，
则a 11的值为________．
解析：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10，a 5＝2，则a 28－a 22
＝(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝12a 5d ＝24d ＝36，d ＝32
，则a 11＝a 5＋6d ＝11. 答案：11
2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4
＝________. 解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，
∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73
.
答案：73
3．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.
解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.
答案：50
4．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________．
解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.
法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 50＋a 5122＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a 51有最大值25. 答案：25
5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n
为整数的正整数n 的个数是________．
解析：由a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝7n ＋19n ＋1
＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1
.因此n ∈N *，a n b n ∈N *， 故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个．
答案：5
[临门一脚]
1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；该性质还可以运用于更多项之间的关系．
2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为
