(完整版)专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附含答案解析)

蚂蚁爬行的最短路径

1•一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 , -10 •

I ■I ■ I ■I ■ I T『鼻

-109^-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 € 7 T 9W

回答下列问题：

(1)蚂蚁最后是否回到出发点0 ；

(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励

2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.

解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到0;

(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10| )X 2=114粒

2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是_____________ .

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.

AB= . 22 12 5 •

3 • ( 2006?茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁

从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm

解：根据两点之间线段最短可知选 A .

故选A .

5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2,

解：如图，AB = , 1 2 2 12 ,10 .故选 C .

2+2=4 .

4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短

路线是（ ）

D . A ? S ? B

解：由题意得，从点

蚂蚁从点A 沿其表面爬到点

6.正方体盒子的棱长为 2 , BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为Array解：展开正方体的点M所在的面，

•/ BC的中点为M ,

1

所以MC= BC=1 ,

2

在直角三角形中AM= __： - = '...■.

7•如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁

在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是___________ cm。

解:

111 1

AB=CD = DF+FC= EF+ GF= x 20+ x 20=20cm .

2 2 2 2

故选C .

(2)展开底面右面由勾股定理得

AB = 0」L 『=5 cm ；

解：将正方体展开，连接 M 、D 1， 根据两点之间线段最短，

MD =MC +CD =1+2=3， MD i = MD 2 DD ； ：32 2 2

1 3

9.如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为

1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要 用2.5秒钟.

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线.

8.正方体盒子的棱长为

A

8

2, BC 的中点为 M ，—只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离

(1)展开前面右面由勾股定理得 AB =

cm

E

F

D

第7题

所以最短路径长为5cm，用时最少：5十2=秒5

10 . （2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 _________ 。

解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB= ' :: =25 .

11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 _____________

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1, △ ABC1是直角三角形,

••• AC1= .. AB2 BC1242 1 2 2 . 42 32 5

12 .如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点,

解：由题意得，

路径一：AB=厂? ! ' !=:託；

路径二：AB= 二—'：=5;

路径三：AB= ■< - ' '= J.;

•••厂> 5,

•••5米为最短路径.

13 .如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：

(1 )蚂蚁经过的最短路程;

(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.

/I

------ 1

h h

广~

~

解：(1) AB的长就为最短路线.

然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为■ - *斗(cm );

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，" - ■■- (cm ),

或■'：— (cm )

所以蚂蚁经过的最短路程是■ cm .

(2) 5cm +4 cm +5cm +4cm +3 cm +4 cm +5cm =30 cm , 最长

路程是30 cm .

14 .如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只

蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

團1 團2 圉工

解：图 1 中,必E 二应= 4078prf89.4 cm .

图 2 中，「—，：一一一；j! "' ■'-： < cm .

图 3 中■ ■■ - cm .

•••采用图3的爬法路程最短，为J?cm

15 .如图，长方体的长、宽、高分别为6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是______________ 。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面,

则这个长方形的长和宽分别是12 cm和6cm ,

则所走的最短线段是1=6 ■ cm ；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10 cm和8cm ,