6 第六章 弹性体的一维振动《振动理论及工程应用(第2版)》教学课件

i 1
现在来确定几种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U (x) C cos px D sin px
a
a
1. 杆两端固定的情况
特征为两端位移为零，边界条件为：
u(0,t) U(0)q(t) 0 u(l,t) U(l)q(t) 0 q(t)不能恒为零
所以 U (0) 0, U (l) 0 C 0, Dsin p l 0
记： p2
q(t) p2q(t) 0
U
(
x)
(
p a
)
2U
(
x)
0
通解： q(t) Acos pt Bsin pt
U (x) C cos px Dsin px
a
a
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
a
sin p l 0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
pi
iaπ l
(i 0,1,2,)
相应的主振型为
Ui
(x)
Di
s in
iπ l
x
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
pi
ia π l
(i 1,2,)
Ui
(x)
Di
sin
iπ l
x
(i 1,2,)
dx
微段分析
q( x, t )
x
0
u u dx x
x dx l
u q(x,t)dx N
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
N N dx x
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Adx
2u x 2
达朗贝尔惯性力
横截面上内力： 达朗贝尔原理：
N EA EA u
(N
N x
dx)
x
l
边界条件 ： u(0,t) 0
U (0) 0 U (l) 0
EAu(l,t) 0 x
C0
频率方程
cos pl 0 a
固有频率：
2i 1 a
pi (
2
), l
i 1,2,...
或：
pi
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
模态函数：
Ui
(x)
Di
sin
(2i
1)
2l
x,
i 1,2,...
Ui (x)
Di
sin( i
2l
x),
i 1,3,5,...
U (x) C cos px Dsin px
a
a
u(x,t) U (x)q(t)
杆右端固定，左端自由
0
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零
U (x) C cos Dsin
a
a
pi
一一对应
Ui (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x,t) U i (x)( Ai cos pit Bi sin pit), (i 1,2)
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x,t) U i (x)( Ai cos pit Bi sin pit)
（1）本章讨论的连续体都是线性弹性体 （2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
6.1 杆的纵向自由振动
（1）杆的纵向振动
q( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
l
杆参数：杆长 l
截面积 A
单位长度的质量 弹性模量 E
假定振动过程中各横ห้องสมุดไป่ตู้面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 q(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
q( x, t )dx
A
2u t 2
x
(EA u ) x
q(x, t)
杆的纵向强迫振动方程
等直杆EA为常数
2u t 2
a
2
2u x 2
1 q(x,t)
A
a E / 弹性波沿杆的纵向的传播速度
固有频率和主振型
2u t 2
a
2
2u x 2
1
A
q(x,t)
q(x,t) 0
杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条 连续曲线，表示各坐标振幅的相对比值 。
由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
由频率方程确定的固有频率 pi 有无穷多个
2u t 2
a2
2u x2
u(x,t) U(x)q(t)
px
px
q(t) Acos pt Bsin pt
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向自由振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动 6.5 转动惯量、剪切变形和轴向力对梁横向振 动的影响 6.6 梁横向振动的近似解法
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2u t 2
a2
2u x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假 设一个主振动模态，即设系统按某一主振型振动时，其上所有 点都做简谐运动。
假设杆上各点做同步运动，即所有的点将同时经过平衡位置 ，并同时达到极限位置。
2u t 2
a2
2u x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
x N q(x,t)dx
Adx
2u t 2
0
变形为：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
q( x, t )dx
q( x, t )
0 x dx l
x u(x,t) 为杆上距原点 x 处截 面在时刻 t 的纵向位移
横截面上内力： N EA EA u
x
N (EA u ) x x x
达朗贝尔原理：
u(x,t) U(x)q(t)
q(t) 表示杆上各点的振动规律的时间函数
U(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
q(t) a2 U (x)
q(t) U (x)
记： p2
q(t) p2q(t) 0
U
(
x)
(
p a
)
2U
(
x)
0
q(t) a2 U (x)
q(t) U (x)
分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为
p1
aπ, l
p2
2a π , l
p3
3a π , l
U1 ( x)
D1
sin
π l
x;
U
2
(x)
D2
sin
2π l
x;
U3 (x)
D3
sin
3π l
x.
杆的前三阶主振型表示如图所示。
2. 杆一端固定，一端自由
0
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零