郑州大学毕业设计（论文）
题目：特征值与特征向量的特点及应用
指导老师：陈铁生职称：副教授
学生姓名：洪天麟学号***********
专业：数学与应用数学
院系：数学与统计学院
完成时间：2015年5月10日
目录
摘要 (1)
§1线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义 (2)
§2 特征值与特征向量的计算以及不变子空间的问题 (10)
§3 矩阵的公共特征向量与同时三角化 (14)
§4 特征值与特征向量的运用 (20)
参考文献 (23)
致谢 (24)
特征值与特征向量的特点及应用
摘要：这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用，给出了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理。并且给出了特征值与特征向量在物理学当中的应用，提供了一些经典习题的解答方法。还给出了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用。
关键词:特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间
Abstract: this article expounds the characteristics of the eigenvalue and eigenvector and applications of eigenvalue and eigenvector is given, and characteristic polynomial, such as feature subspace concept and nature of the theorem. And eigenvalue and eigenvector are given in the application of physics, provides some classical problem solution method. Eigenvalues and eigenvectors are also in the actual application of production and living.
Key words: eigenvalues, eigenvectors and characteristic polynomial, invariant subspace, feature subspace
矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系。结合数学模型来研究等一系列问题，我们主要从三方面着手：线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用。
§1线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义
若存在非零向量ξV,使得对于某个λ∈K,有Aξ=λξ,则称ξ是A的属于特征值λ的特征向量。从数学的直观解析几何角度来看，特征向量的方向线性变换后，还是在一条直线，要么方向不变（大于0）要么方向相反（小于0），在等于0时，特征向量被线性变换变成0.ξ是线性变换错误!未找到引用源。的属于特征值错误!未找到引用源。的特征向量，那么ξ的任意一个非零背书kξ也是A的属于错误!未找到引用源。的特征向量。因为由Aξ=错误!未找到引用源。ξ推出A（kξ）
=错误!未找到引用源。（kξ）特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反，特征值确是被特征向量唯一决定，一个特征值向量只能属于一个特征值。
数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。
“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。
空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
例子
随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。
另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。
但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2.）。振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。
如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随
着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
设A 是数域P 上的一个n 级矩阵，λ是一个数字。矩阵A E -λ的行列式
|A E -λ|=
nn
n n n
n a a a a a a a a a ---------λλλ....
..
....
...2
122221
11211
称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个n 次多项式。 上面的分析说明，如果0λ是线性变换Д的特征值，那么
一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果
是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即|0λE-A|=0.
