一元二次方程根的分布练习题

若 根分布例题选讲

例１．设关于 x 的方程 4 x - 2 x +1 - b = 0(b ∈ R ），

（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

例２．已知二次函数 f(x)=ax 2+b x +c(a ≠0). 方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f[f(x)]=x 也无实根．

例３．设 A = [-2,4) ， B = {x x 2 - ax - 4 ≤ 0} ，若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围．

变式：已知方程 x 2

+ (3m -1)x + (3m -2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于 1，求

m 的取值范围．

例４．已知方程 4 x 2 + 2(m - 1) x + (2m + 3) = 0(m ∈ R) 有两个负根，求 m 的取值范围．

例５．求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0．

（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．

（２）有两个实根α,β，且满足0<α<1<β<4．

（３）至少有一个正根．

例６．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

变式：已知方程2x2–2(2a-1)x+a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．

例７．已知二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0的两个根都小于1，求m的取值范围．

， -3x +2

变式：如果二次函数 y =mx 2+(m －3)x +1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的

取值范围.

例８．已知 a 是实数，函数 f ( x ) = 2ax 2 + 2 x - 3 - a ，如果函数 y = f ( x ) 在区间 [-11]上有零 点，求 a 的取值范围．

二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也 可以适当运用．下面再举两个例子：

x +1 例９．求函数 y = x 2 (1

例 10．已知抛物线 y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点） 有公共点，求 m 的取值范围．

2 1 练习题：

1．已知二次方程 (3m - 1) x 2 + (2m + 3) x - m + 4 = 0 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求 m 的取值 范围．

2．已知方程 m ⋅ 2 2 x + (2m - 1) ⋅ 2 x + m = 0 在 (-∞,1) 上有两个根，求 m 的取值范围．

3．已知二次方程 (2m + 1) x 2 - 2mx + (m - 1) = 0 有且只有一个实根属于（1， ），且 x = 1, x = 2 都不是方程的根，求 m 的取值范围．

4．已知二次方程 (m - 1) x 2 + (3m + 4) x + (m + 1) = 0 的两个根都属于（–，1）

，求 m 的取值 范围．

5．若关于 x 的方程 x 2+(a-1)x +1=0 有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数 a 的取值 范围．