高中数学教案:一元二次不等式
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一元二次不等式
【教学目标】
知识目标:掌握一元二次不等式及其解法.
能力目标:通过一元二次不等式的学习,提高计算技能和观察能力.
情感目标:经历利用“图像法”解一元二次不等式的探究过程,体验“数形结合”的探究方法,享受成功的喜悦.
【教学重点】一元二次不等式的图像解法.
【教学难点】教材上表2-2的正确使用.
【教学过程】
一、动手探索 感受新知
问题
已知二次函数y =x 2-x -6,问:
1.怎样画这个二次函数的草图?
2.根据二次函数的图像,能求出抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点吗?其交点将x 轴分成几段?
3.观察抛物线找出纵坐标y =0、y >0、y <0的点.
4.观察图像上纵坐标y =0、y >0、y <0的那些点所对应的横坐标x 的取值范围?
解决
解方程260x x --=得122,3x x =-=.观察图像可以看到,方程260x x --=的解,恰好分别为函数图像与x 轴交点的横坐标;在x 轴上方的函数图像,所对应的自变量x 的取值范围,即{|23}x x x <->或内的值,使得260y x x =-->;在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围,即{|23}x x -<<内的值,使得260y x x =--<.
二、动脑思考 探索新知
解法
利用一元二次函数2y ax bx c
=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或
20ax bx c ++<. (1)当240b ac ∆=->时,方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <,一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ,2(,0)x (如图(1)所示).此时,不等式20
ax bx c ++<的解集是()12,x x ,不等式20a x bx c ++>的解集是
12(,)(,)x x -∞+∞;
(1) (2) (3)
(2)当240b ac ∆=-=时,方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ,一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x (如图(2)所示).此时,不等式20ax bx c ++<的解集是∅;不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)(,)x x -∞+∞.
(3)当240b ac ∆=-<时,方程20ax bx c ++=没有实数解,一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点(如图(3)所示).此时,不等式20ax bx c ++<的解集是∅;不等式20ax bx c ++>的解集是R .
三、理论升华 整体建构
当0a >时,一元二次不等式的解集如下表所示:
方程或不等式
解集
0∆> 0∆= 0∆< 20ax bx c ++=
{}12,x x {}0x ∅ 20ax bx c ++>
12(,)(,)x x -∞+∞ 00(,)(,)x x -∞+∞ R 20ax bx c ++ (][)12,,x x -∞+∞ R R
20ax bx c ++< 12(,)x x ∅ ∅
20ax bx c ++ []12,x x {}0x
∅ 表中2
124,b ac x x ∆=-<.
四、巩固知识 典型例题
例1 解下列各一元二次不等式:
(1)260x x -->; (2)29x <;
(3)25320x x -->;(4)22430x x -+-.
分析 首先判定二次项系数是否为正数,再研究对应一元二次方程解的情况,最后对照表格写出不等式的解集.
解 (1)因为二次项系数为10>,且方程260x x --=的解集为{2,3}-,故不等式260x x -->的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.
(2)29x <可化为290x -<,因为二次项系数为10>,且方程290x -=的解集为
{3,3}-,故29x <的解集为()3,3-.
(3)25320x x -->中,二次项系数为30-<,将不等式两边同乘1-,得
23520x x -+<.由于方程23520x x -+=的解集为2{,1}3
.故不等式23520x x -+<的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭,即25320x x -->的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
. (4)因为二次项系数为20-<,将不等式两边同乘1-,得2243
0x x -+.由于判别式()2442380∆=--⨯⨯=-<,故方程22430x x -+=没有实数解.所以不等式
22430x x -+的解集为R ,即22430x x -+-的解集为R .
例2 x
解 根据题意需要解不等式 2320x x --.解方程2320x x --=得122,13
x x =-=.由于二次项系数为30>,所以不等式的解集为[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.
即当[)2,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦
五、运用知识 强化练习
教材练习2.3
解下列各一元二次不等式:
(1)22420x x -+>;(2)2310
0x x -++.
六、作业探究
(1)寻找不等式的生活应用.