第五章
n 维向量空间
习题一
1． 解：a-b = a+(-b)
= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T
= (1,0,-1)T
3a+2b-c = 3a+2b+(-c)
= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T
= (0,1,2)T
2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a
3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a
61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a
21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 = a
将a 1=(2,5,1,3)T
,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T
代入a =
21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T
.
3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设
a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为 (x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0
所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0
所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.
(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2,
x 2+y 2,…,
x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.
习 题 二
1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：
(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4
其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T
,
a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T
向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得：
(0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T
根据对分量相等可得下列线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-====++++++1
201
213
214321k k k k k k k k k k
解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.
因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .
(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++1
2
1332223
21
2
143214321k k k k k k k k k k k k k
由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.
因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .
2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性
相关.
(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=40051011122051011133162111132
1
a a a
因为()332
1
=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性无关.
(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002101114201260111713144211
132
1
a a a
因为()3232
1
<=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性相关.
(4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=50041011132041011121130111132
1
a a a
因为()332
1
=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性无关.
3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0
又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即
(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有
⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪
⎨⎧===0003
21k k k
因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.
4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使
k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0
因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：
k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：
(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）
法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，
k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0
可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1
取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使
k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。
(2) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性相关时，k 1+k 4，k 2+k 1，k 2+k 3，k 3+k 4中至少存 在 一
个不为0，因此易知k 1,k 2,k 3,k 4不全为0，于是可得b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。 法二：因为a 1,a 2,a 3,a 4为任意向量，
所以当⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+0
00
04
3322
141k k k k k k k k ，
