（2）根与系数的关系（韦达定理）
2
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是
定理．
2、二次函数y ax bx c的性质
1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为
当x
b时，y随x的增大而减小； 当x 2a
2a
x1，x2，那么x1＋x2＝
xb，顶点坐标为
2a
4
ac
x1·x2＝
b
2a
b时，y随x的增大而增大； 当2a
（1）|x1－x2|和1 2．
2
练习
解下列含有绝对值的不等式：
1)x 1 x
3>
4+x
2)|x+1|<|
x－2|
3)|x－1|+|2x+1|<4
4)3x 2
7
(5)5x 7
8
2 2
(a
b)( a
b)
a b
2
2
2
(a
b)
a
2ab b
2
2 3
3
(a
b)(a
ab
b ) a
b
2
2 3
3
(a
b)(a
ab
b ) a
b
b c)
2
2 2 2
2(ab bc ac)
第一讲 数与式
1、绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0,
|a| 0, a 0,
a, a 0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
2x xy
2
y 4x 5y 6
5．
关于x的二次三项式
ax
2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程2
ax x
解为
1
bx
)
0(
c a的两个实数根是
x1、
x2，则二次三项式
2
0)
就可分
例5.把下列关于
x的二次多项式分解因式：
2
1
p
2
6
）
1
2
q
12
14)31
(13)
x2
－2x－1
15)
4 2
4x 13x 9
2、绝对值不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式
①f （x） a（a 0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是
②f （x） a（a 0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是
例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|>3的解集．
例5.解不等式|x－1|＋|2－x|>3－x．
x的不等式|x－5|＋|x－3|<a有解，求a的取值范围．
1当24 0
b ac时，图象与x轴交于两点
20 0
ax bx c a的两根。这两点间的距离
2当0时，图象与x轴只有一个交点；
3当0时，图象与x轴没有交点.
1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；
2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0
y
例2.函数
mx
c
c．这一关系也被称为韦达
a
2
4ac b
。
4a
2
b时，y有最小值4ac b。2a4a
2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为
xb，顶点坐标为
2a
2a
x的增大而增大；当x
b
2a
时，y随x的增大而减小；当
2ba时，
2
4ac b
4a
y有最大值
xb时，y随2a
2
4ac b
4a
3、二次函数与一元二次方程：
图象与x轴的交点个数：
(a
a
b c
3
3
2 2
3
(a
b)
a
3a b 3ab
b
3、因式分解 乘法公式 （1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）立方和公式 （4）立方差公式 （5）三数和平方公式 （6）两数和立方公式
7)两数差立方公式
3 3 2
(a b) a 3a b
2
3ab
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、
x
m m
（ 是常数）
x
的图像与 轴的交点个数为（
）
Ａ．0个
Ｂ．
1个
Ｃ．2个
Ｄ．1个或2个
2
5
25
x
y mx mx m x
例3.关于
的方程
有两个相等的实数根，则相应二次函数
与轴
mx
mx m
m必然相交于
点，此
时
2(2
1) 6
y x
m x m
x
例4 .抛物线
与
轴交于两点（x，0）和（x2，0），若x1x2
公式法、
分组分解法，另外还应了解求根法及
待定系数法．
1．十字相乘法
例1分解因式：
2
1)x－3x＋2；
2)
6x
7x 2
3
x a b xy aby
4)
xy
2．提取公因式法
例2.分解因式：
2)
x3
3x
3x
3．公式法
例3.分解因式：
1)
a4
16
2)
3x
2
2y x
4．
分组分解法
2
4.(1)x
xy
3y
3x
2)
2
x1x249，要使抛物线
1
经过原点，应将它向右平个移单位．
x y 2mx
例5.关于 的二次函数
1
1
m
m≥
m 0
Ａ．
Ｂ．
且
16
16Hale Waihona Puke Baidu
1)x 8m
x
m
的图像与
轴有交点，
则 的范围是（ ）
1
1
m
m
m 0
Ｃ．
Ｄ．
且
16
16
练习
3.一元二次方程ax1和
2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x
3 3
x x；（2）x1＋x2
16)
2
ab
2
ac
2
bc
17)
2
3x
5xy
2
2y x 9y 4
第二讲
一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程
（1）根的判别式
对于一元二次方程
2
ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:
（1）
x1
>0时，方程有两个不相等的实数根
2）
Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝
b，2＝，2＝
b
2a
3）
Δ<0时，方程没有实数根．
