北京市首都师范大学附属中学2021届高三数学开学考试试题(含解析)

北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试

高三数学试卷

一、单选题

1.设a,b 为实数，若复数1+21i

i a bi

=++，则 A. 31,22

a b == B. 3,1a b == C. 13,22

a b =

= D. 1,3a b ==

【答案】A 【解析】 【分析】

先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．

【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩

，解得32a =，1

2b =，

故选A ．

【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．

2.过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9

C. 12

D. 无法确定

【答案】C 【解析】

试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即

12121212x x p AB x x p ++=∴=++=

考点：直线与抛物线相交问题

3.已知集合11,2,2A ⎧

⎫=⎨⎬⎩⎭

，集合2

{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）

A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭

B. {}2

C. {}1

D. φ

【答案】C

【解析】 试题分析：因，故,选C.

考点：交集运算.

4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元

【答案】C 【解析】 【分析】

设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.

【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<. 故选：C

【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b α

B. //a α，b β//，//αβ

C. a α⊥，b β⊥，//αβ

D. αβ⊥，a α⊥，b β//

【答案】C 【解析】 【分析】

在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；

【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；

在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；

在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．

【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

6.若双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的渐近线与圆()2

221x y -+=相切，则双曲线的离心率

为( )

A. 2

B.

2

C.

3

【答案】C 【解析】 【分析】

利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.

【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，

1=，

所以223a b ，c e a =

===

3

. 故选：C.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.

7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )

A.

2

B.

2

C.

34

D. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.

【详解】

如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，

使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3

AM =

显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604

MQ AM CAB =∠==. 故选：C.

【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.

8.已知椭圆C ：22

143

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若

点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为( ) A.

3

2

B.

33

2

C.

94

D.

154

【答案】B 【解析】 【分析】