2009级研究生《数值分析》试卷
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x
y
y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由
统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限
)(u ε和相对误差限)(u r ε.
二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .
三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12
1
)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精
度.
四.(12分) 已知函数
122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间
},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.
其中,权函数1)(=x ρ,15
4
))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.
五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:
(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):
(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.
(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)
(1). 用Romberg 方法计算⎰3
1
dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).
(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈1
12
)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数
k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰3
1
dx x .
七.(14分)
(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).
八. (12分) 用追赶法求解方程组:
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.
九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==0
0)()
,('y x y y x f y 的计算格式为:
)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数
b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .
2008年春季学期数值数学试题
一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：
⑴试建立求1
a
的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；
⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为02
0x a
<<；
⑶该迭代的收敛速度是多少？
⑷取00.1x =，计算1
5
的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。
332
,01
()1(1)(1)(1),132
x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪
=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？
三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组
123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组
123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性
五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2
b
a
a b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。
六．（10分
用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。 七．（10
建立不超过三次的Newton 插值项式。
八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式
1011
()(f x dx A f A f -≈+⎰
有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此 公式计算积分311
I dx x
=⎰（结果保留5位小数）。
九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：
20,
01
(0)1
y y x y '=-≤≤⎧⎨
=⎩
在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。
10．（10分）讨论两步方法 11112
(4)33
n n n n
y y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中
10111[()()],2,3,
!p p
r
r r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭
∑∑ ）
2003年研究生“数值分析”试题
一，（8分）设0>a 为实数，试建立求
a
1
的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算，并证明：当初值0x 满足a
x 2
00<
<时，此格式时收敛的。 二，（6分）用Doolittle 分解法解方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201814513252321321x x x
三，（8分）设⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=5010010a b b a A ，0det ≠A ，
用a ，b 表示方程组d Ax =的Jacobi 迭代法及Gauss －Seidel 迭代法收敛的充分必要条件。
四，（8分）设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120122101A ，⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3/23/12/1b 。已知它有解T x )0,31
,21(-=，
如果右端有小扰动6102
1
-∞
⨯=
b
δ，试估计由此引起的解的相对误差。 五，（10分）求出一个次数不高于4次的Hermite 插值多项式)(x P ，使它满足0)0(')0(==P P ，
1)1(')1(==P P ，1)2(=P ，并写出余项表达式。
六，（6分）用Romberg 方法计算积分⎰-1
0dx e x ，计算到0.3T 。
