连续弹性体的振动概论

ux,t U xT t
代入波动方程以后有
2u t 2
U
xT ''
t ，
2u x2
T
t U
''
x
a2TU '' UT ''
T '' a2 U '' TU
左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数， 若使它们相等只有等于一个常数设为
T '' a2 U ''
TU
T '' T 0
U '' U 0
a2
只有 为负数才能确定振动运动，所以不妨设为 2 ，这样有
T '' 2T 0
U ''
a
2
U
0
T t Csint
则有
U
x
Asin
a
x
B
cos
a
x
u x,t T t U x
A'sin
a
x
B'
cos
a
x
sin
t
这里 A', B',, 为待定常数，由边界条件和初始条
由于 sint 不恒为零，故定有 B' 0 u l,t A' sin l sin t
a
同理，由于 A' 和 sint 都不恒为零，所以有
sin l 0
a
边界条件确定了频率方程，频率是未知的。
l 0, , 2 ,3 ,... n (n 1, 2,3...)
a
0 舍去（导致振型函数为零，不振动）。所以
在 x 截面上内力为
N A x A x E EA x u
x
由牛顿第二定律
x
A
x dx
2u t 2
N
N x
dx
N
N x
dx
E
x
A
xu x
对于等截面的杆，由同种材料构成的
Ax A ， x
A
2u t 2
EA
2u x2
2u t 2
E
2u x2
a2
2u x2
该方程为一维波动方程， a 为纵波在杆内的传播速 度。方程可用分离变量的方法求解
n
其中 Bn' 与n 由初始条件确定。
4.1.3 两端自由
u x,t
0
dU 0
x x0
xl
，也就是，
dx
x0 xl
U x A' sin x B' cos x
a
a
U ' x A' cos x B' sin x
aa
aa
U ' 0 0 A' A' 0
a
U ' l B' sin l 0
对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和
t 的函数 ux,t
以杆左端为坐标原点建立坐标系，在坐标为 x 处
取一微元段 dx ，在任一时刻 t，微元段两端的位移
和截面内力如下：
在 x 处，截面位移为 ux,t ，在 x dx 处位移
为
u
u x
dx
则
dx
的绝对变形为
u x
dx
，应变
u x
。
0， x
l 4
,U2
l 4
A2'
x
3l 4
,U2
3l 4
A2'
显然第 n 个振型有 n-1 个节点。对每一阶主振动都
求出一个固有频率，对第 n 阶主振动有
un
x,t
An'
sin
n
l
x sin nt n
系统的自由振动是 n 阶主振动的叠加
u x,t
n1
An'
sin
n
l
x sin nt
n
n a
l
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(n
1, 2,3...)
有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。
如对n 有
Un
x
An'
sin
n
a
x
An'
sin
n a
l
x a
An'
sin
n
l
x
画出振型图，就是各点的振幅。
1阶 2阶
1
U1
x
A1'
sin
x
l
x l, 2
U1
l 2
A1'
2
U2
x
A2'
sin
2
l
x
x
l 2
,U2
l 2
纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: 1）每一横截面，绕通过截面形心的轴线转动 一个角度，截面保持平面; 2）截面上每一个点都转 动相同的角度。扭转振动位移用 表示。 由材料力学可知
Mt GJ p x G ——剪切弹性模量，
J p ——截面的极惯性矩 由达朗贝尔原理
Mt
M t x
dx
Mt
Jp
第四章 连续弹性体的振动
实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚 度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的 合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行 器（导弹，火箭结构），细长比大于 4 时可用连续的变截面梁模型 描述，小于 4 时可用弹簧质量块模型描述。
等于弹性力。
EA u l,t ku l,t
x
（4）惯性载荷 一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。
u l,t
2u l,t
EA x
M
t 2
4.1.2 两端固定
u0,t ul,t 0
分别代入解表达式
u x,t (A' sin x B' cos x) sin t
a
a
u0,t B' sint 0
本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性 是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主 要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板 的横向振动等常用的典型情况。
4.1 直杆的纵向自由振动
4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设：
1）杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。 2）纵向运动过程中，略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。
aa
B
'
不恒为零，所以
sin
a
l
0
sin l 0 l n , n 0,1, 2...
a
a
n
n
l
a
代入振型函数为
Un x
Bn'
cos n
a
x
Bn'
cos
n
l
x
对应的第 n 阶主振动为
un x,t
Bn'
cos n
l
x sin nt n
注意： 可以为零，与两端固定不同，当 0 时
U x Bn' ，意味着各点振幅完全一样，对应杆的
件确定。
其中U x 相当于在 x 处截面（质点）的振动的
振幅，则U x 也称振型函数。
几种典型的边界条件 （1） 固定端
该处纵向位移为零。
u x,t 0 ， x 0,l 。
（2） 自由端 该处横向内力为零。
N
EA
u x
0
，
x
0, l
即
u x,t
x
0
，
x
0,
l
(3) 弹性支承 杆的一端是弹性支承，设为右端。此处轴向内力
t 2
,t Jpd
x
,t
Jo 圆盘对称轴转动惯量
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10），
2
t 2
dx
0
GJ
p
2
x2
Jp
2
t 2
2
t 2
G
2
x2
a
2
2
x2
a——剪切波在杆内传播速度 边界条件：
1）固定端
x,t 0, x 0,
2）自由端
x,t 0, x 0,
x
转角为零 扭矩为零
（3）弹性支承
k ,t GJp ,t
X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
Jo
2