根式
【知识梳理】
1．根式及相关概念
(1)a 的n 次方根定义：
如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n *
∈N .
(2)a 的n 次方根的表示：
(3)根式：
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
2．根式的性质
(1)n =a (n 为奇数时，R a ∈
；n 为偶数时，0a ≥，且1n >)．
,,1,,1a n n
a n n >⎧⎪=⎨>⎪⎩
为奇数且为偶数且 ．
=0.
(4)负数没有偶次方根．
【常考题型】
题型一、根式的概念
【例1】 (1)下列说法：①16
的4次方根是22±
；③当n 为大于1R a ∈都有意义；④当n 为大于10a ≥时才有意义．其中说法正确的序号为________．
(2)a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是2±2=，所以正确的应为③④.
(2)30a -≠，即3a ≠.
∴a 的取值范围是{}3a a ≠．
[答案] (1)③④ (2){}3a a ≠
【类题通法】
判断关于n 次方根的结论应关注两点
(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号．
【对点训练】
已知102m =，则m 等于( )
A.B
．
D
．解析：选D ∵102m =，∴m 是2的10次方根．
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m =.
题型二、利用根式的性质化简求值
【例2】 化简：
x π<，n *∈N
)； 12
a ≤）. [解] (1)∵x π<，∴0x π-<，
当
n x x ππ=-=-；
当n
x π=-.
,,,,x n n x n n ππ**⎧-∈N ⎪=⎨-∈N ⎪⎩为偶数为奇数. (2)∵12
a ≤，∴120a
-≥.
2112a a =
=-=-.
【类题通法】
根式化简应注意的问题
(1)n n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．
a n 的奇偶性．
【对点训练】
求下列各式的值：
3.
解：2,222,2x x x x x -≥⎧=-=⎨
-<⎩．
(2)因为)222311-=-=，
31110==+-=. 题型三、条件根式的化简
【例3】 (1)若0xy ≠2xy =-成立的条件可能是( )
A ．0x >，0y >
B ．0x >，0y <
C ．0x ≥，0y ≥
D ．0x <，0y <
(2)设33x -<<
(1)[解析] 22xy xy ==-，
∴0xy ≤.
又∵0xy ≠，∴0xy <，故选B.
[答案] B
(2)[解] 原式=13x x =--+.
∵33x -<<，
∴当31x -<<时，原式()()1322x x x =---+=--.
当13x ≤<时，原式()()134x x =--+=-. ∴原式22,314,13x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩
.
【类题通法】
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
【对点训练】
若0n m <<(
) A ．2m B ．2n
C ．2m -
D ．2n -
解析：选C 原式=m n m n =+--，
∵0n m <<，∴0m n +<，0m n ->，
∴原式()()2m n m n m =-+--=-.
【练习反馈】
11
2x >）的结果是( )
A ．12x -
B ．0
C ．21x -
D ．()212x -
解析：选C 12x =-，1
2x >，
∴120x -<，
21x =-.
2．下列式子中成立的是( )
A ．
B ．=
C ．=
D ．
解析：选C 要使有意义，则0a ≤，
故(a =--=，故选C.
3．若3x >
2x -=________.
解析：
()2232321x x x x x x -=
-=---=---=-. 答案：1-
4．化简
2=
________. 10a -≥，即1a ≥，
∴原式()()()1111a a a a =-+-+-=-.
答案：1a -
5．已知0a b <<，1n >，n *∈N
. 解：∵0a b <<，∴0a b -<，0a b +<.
当n 是奇数时，原式()()2a b a b a =-++=；
当n 是偶数时，原式a b a b =-++
()()2b a a b a =-+--=-
.
2,2,a n a n ⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数.
