【2013年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：
典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．
（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=125
仍成立。证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴2 2 22BD CD BC 345=+=+=。
∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125
。
∵S△BCE=1
2
BE•CK，S△BEP=
1
2
PR•BE，S△BCP=
1
2
PQ•BC，且S△BCE=S△BEP
＋S△BCP，
∴1
2
BE•CK=
1
2
PR•BE＋
1
2
PQ•BC。
又∵BE=BC，∴1
2
CK=
1
2
PR＋
1
2
PQ。∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=12
5
，∴PR＋PQ=
12
5
。
（3）图3中的结论是PR－PQ=12
5
．
【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两
个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=12
5
。
例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，
∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。
②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形．
∵()22y kx 4kx 3k k x 2k =-+=--，∴顶点P （2，－k ）．
∵A （1，0），B （3，0），∴AB=2
要使△ABP 为等边三角形，必满足|－k|=3，
∴k=±3。
③线段EF 的长度不会发生变化。
∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，
∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k ≠0，∴x 2﹣4x+3=8。解得：x 1=﹣1，x 2=5。
∴EF=x 2﹣x 1=6。∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。
【分析】（1）抛物线y=ax 2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a ＞0时，抛物线的开口向上；a ＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②当△ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出P 点纵坐标，它的3倍，由此确定k 的值。
③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
